Gegeben sei die DGL
Ayy' + By'' = 0.
Bestimmen Sie \color{red}a \neq 0, sodass
t \mapsto y(t) = \dfrac{\color{red}a}{t} eine Lösung ist.
\color{red}a
=
2*B/A
Die Idee ist, {\color{blue}y(t)= \dfrac{a}{t}} mit
{\color{blue}y'(t)} und
{\color{blue}y''(t)} in die DGL
Ayy' + By'' = 0 einzusetzen.
Die Ableitungen sind {\color{blue}y'(t) = -a t^{-2} = -\dfrac a {t^2}} und
{\color{blue}y''(t) = 2a t^{-3} = 2 \dfrac a {t^3}}
und damit eingesetzt
A\cdot {\color{blue}\dfrac{a}{t}} \cdot \left({\color{blue}-\dfrac a {t^2}}\right) +
negParens(B)\cdot {\color{blue} 2 \dfrac a {t^3}}= 0
Wir sortieren die Gleichung und erhalten
\dfrac{-A{\color{red}a}^2 + 2*B{\color{red}a}} {t^3}= 0
Diese Gleichung ist für alle t (mit t \neq 0) genau
dann erfüllt, wenn der Zähler
-A{\color{red}a}^2 + 2*B{\color{red}a}= 0 ist.
\color{red}a aufgelöst, erhalten wir
{\color{red}a} = fractionReduce(2*B,A)
(oder {\color{red}a} =0).