Gegeben sei die Diferentialgleichung
y'(t) = A\cdot y(t) +B.
Bestimmen Sie {\color{red}a} und {\color{blue}b},
sodass die Funktion y mit
y(t) = C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} + {\color{blue}b}
diese Differentialgleichung und y(0) = Y0 erfüllt.
\color{red}a
=
(A*Y0+B)/C
\color{blue}b
=
Y0-C
Mit y(0) = Y0 folgen
y(0) = C \cdot 1 + {\color{blue}b} = Y0
und {\color{blue}b} = Y0 - C.
Um {\color{red}a} zu finden, leiten wir
y(t) = C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} + {\color{blue}b} ab
und setzen y'(t) und y(t) in die Differentialgleichung ein.
Setze dann {\color{blue}b} in {\color{red}a} \cdot C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t}
= A \cdot C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} +
\left( A {\color{blue}b}+ B \right)
mit t = 0 ein.
Das ergibt {\color{red}a} \cdot C
= A \cdot C+\left( A {\color{blue}b}+ B \right)
= A*C + A*Y0 - A*C +B und schlussendlich
{\color{red}a} = \dfrac{A*C + A*Y0 - A*C+B}{C} =
fractionReduce(A*Y0+B,C).