de-CH
utf-8
math math-format graphie
Richtungsfeld lesen: quadratisch
dgl-09-01
multiple
195
randRangeExclude(-8,8,[0]) randRangeExclude(-8,8,[0,-A,A]) A+B A*B

Gegeben sei unten das Richtungsfeld der DGL y' = y^2 - Ty + D.

Bestimmen Sie die Werte \color{red}\alpha und \color{blue}\beta .

style({ stroke: "black", strokeWidth: 0.05 }); graphInit({ range: [[-8, 8], [-10,10]], scale: [22, 22], axisArrows: "->", tickStep: 10, }); label([0,A-0.5], "\\color{red}\\alpha", "above left"); label([0,B-0.5], "\\color{blue}\\beta", "above left"); // Vektorfeld for(var i = -8; i <= 8; i+=1.25) { for(var j = -9; j <= 9; j+=1.25) { var dy = (j - A)*( j - B)/15; line([i - 0.25, j - dy*0.25], [i + 0.25, j + dy*0.25], { arrows: "", strokeWidth: 1, stroke: "gray" }); line([i - 0.25, A ], [i + 0.25, A], { arrows: "", strokeWidth: 1, stroke: "red" }); line([i - 0.25, B ], [i + 0.25, B], { arrows: "", strokeWidth: 1, stroke: "blue" }); } }

x \color{red}\alpha = A
x \color{blue}\beta = B

Das Richtungsfeld zeigt an einer Stelle (x_0,y_0) ein kleines Tangentenstück einer Lösung der DGL, auf der (x_0,y_0) liegt.

Die Steigung der Tangente ist durch den Wert der rechten Seite der DGL für Werte (x_0,y_0) gegeben.

An den Stellen \color{red}\alpha und \color{blue}\beta sind die Tangentensteigungen gleich Null.

Wir suchen die Nullstellen der rechten Seite der DGL y' = y^2 - Ty + D.

Mit y' = y^2 - Ty + D = (y- A) (y- B) sind \color{red}\alpha = A und \color{blue}\beta = B.