Gegeben sei ein LGS der Form
\begin{pmatrix}A & B & C & \bigl | &M \\
0 & D & E & \bigl | &N \\
0 & F & G & \bigl | &L
\end{pmatrix} mit der eindeutigen Lösung
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\
{\color{blue}Y} \\ Z \end{pmatrix}.
Bestimmen Sie die Einträge
\color{red} X
=
X
\color{blue} Y
=
Y
Z
=
Z
Für die Zeilenstufenform müssen wir in
\begin{pmatrix}A & B & C & \bigl | &M \\
0 & D & E & \bigl | &N \\
0 & \boxed{F} & G & \bigl | &L
\end{pmatrix}
noch \fbox{\text{eine Null}} erzeugen.
Das gelingt mit Ersetzen der {3. Zeile} durch
negParens(F) \; \cdot {2. Zeile} - D \; \cdot {3. Zeile}.
Das ergibt
\begin{pmatrix}A & B & C & \bigl | &M \\
0 & D & E & \bigl | &N \\
0 & \boxed{0} & F*E-D*G & \bigl | &F*N-D*L
\end{pmatrix}
und damit Z = Z.
Die zweite Zeile
D Y + E Z = N
umgestellt D Y = N - E Z und Z = Z eingesetzt ergibt
{\color{blue}Y = Y}.
Mit diesen beiden Werten Z = Z und {\color{blue} Y = Y}
in der ersten Zeile
A X + B Y + C Z = M
umgestellt A {\color{red}X} = M - B {\color{blue}Y} - C Z ergibt dann
{\color{red}X = X}.