Gegeben sei ein LGS der Form
\begin{pmatrix}A & B & C & \bigl | &M \\
R & D & E & \bigl | &N \\
S & F & G & \bigl | &L
\end{pmatrix} mit der eindeutigen Lösung
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\
{\color{blue}Y} \\ Z \end{pmatrix}.
Bestimmen Sie die Einträge
\color{red} X
=
X
\color{blue} Y
=
Y
Z
=
Z
Im ersten Schritt Richtung Zeilenstufenform müssen wir in
\begin{pmatrix}A & B & C & \bigl | &M \\
\boxed{R} & D & E & \bigl | &N \\
\boxed{S} & F & G & \bigl | &L
\end{pmatrix}
jeweils \fbox{\text{eine Null}} erzeugen.
Das gelingt mit Ersetzen der {2. Zeile} durch
negParens(R) \; \cdot {1. Zeile} - A \; \cdot {2. Zeile}
und mit Ersetzen der {3. Zeile} durch
negParens(S) \; \cdot {1. Zeile} - A \; \cdot {3. Zeile}.
Das ergibt
\begin{pmatrix}A & B & C & \bigl | &M \\
\boxed{0} & B*R-D*A & C*R-E*A & \bigl | &M*R-A*N \\
\boxed{0} & B*S-F*A & C*S-G*A & \bigl | &M*S-A*L
\end{pmatrix} .
Für die Zeilenstufenform müssen wir weiter in
\begin{pmatrix}A & B & C & \bigl | &M \\
0 & B*R-D*A & C*R-E*A & \bigl | &M*R-A*N \\
0 & \boxed{FF} & GG & \bigl | & LL
\end{pmatrix}
noch \fbox{\text{eine Null}} erzeugen.
Das gelingt mit Ersetzen der {3. Zeile} durch
negParens(FF) \; \cdot {2. Zeile} - DD \; \cdot {3. Zeile}.
Das ergibt
\begin{pmatrix}A & B & C & \bigl | &M \\
0 & DD & EE & \bigl | &NN \\
0 & \boxed{0} & FF*EE-DD*GG & \bigl | &FF*NN-DD*LL
\end{pmatrix}
und damit Z = Z.
Die zweite Zeile
DD Y + EE Z = NN
umgestellt
DD Y = NN - EE Z und Z = Z
eingesetzt ergibt {\color{blue}Y = Y}.
Mit diesen beiden Werten Z = Z und {\color{blue} Y =
Y}
in der ersten Zeile
A X + B Y + C Z = M
umgestellt
A {\color{red}X} = M - B {\color{blue}Y} - C Z ergibt dann
{\color{red}X = X}.