Für eine Konstante \color{red}K sei die Funktion f: \mathbb R^2 \to \mathbb R mit
f(x,y) = A {\color{red}K} + B x gegeben.
Für welches \color{red}K ist das Integral
\displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} f(x,y) dA = I mit dem Dreieck \color{orange}D unten.
{\color{red}K} =
Es ist
\displaystyle
\int \int_{{\color{orange}D}} f(x,y) \, dA =
\int \int_{{\color{orange}D}} (A {\color{red}K} + B x) \, dA =
\int \int_{{\color{orange}D}} A {\color{red}K} \, dA + \int \int_{{\color{orange}D}} B x \, dA.
Der erste Summand
\displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} A {\color{red}K} \, dA =
A {\color{red}K} \int \int_{{\color{orange}D}} 1 \, dA berechnet sich schnell geometrisch,
da \displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} 1 \, dA = Flächeninhalt des Dreiecks
{\color{orange}D} = X \cdot Y = Y*X.
Zusammen hat der erste Summand den Wert
\displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} A {\color{red}K} \, dA = A*X*Y {\color{red}K}.
Der zweite Summand berechnet sich mit
\displaystyle
\int \int_{{\color{orange}D}} B x \, dA =
B \int_{0}^{X}
\int_{fractionReduce(Y,X,small=true) x - Y}^{-fractionReduce(Y,X,small=true) x +Y}
x \, dy dx.
Für die Intervallgrenzen der inneren Integration gilt
fractionReduce(Y,X) x - Y = - \left(-fractionReduce(Y,X) x +Y\right),
das heisst, die eine Grenze ist jeweils das negative der anderen.
Aufgrund der Achsensymmetrie der gerade Funktion y \mapsto x folgt also
\displaystyle
\int_{fractionReduce(Y,X,small=true) x - Y}^{-fractionReduce(Y,X,small=true) x +Y} x \, dy =
2 \int_{0}^{-fractionReduce(Y,X,small=true) x +Y} x \, dy
= 2 x \left( -fractionReduce(Y,X,small=true) x +Y \right) = -fractionReduce(2*Y,X) x^2 +2*Yx.
Die zweite Integration ist
\displaystyle \int_{0}^{X} -fractionReduce(2*Y,X) x^2 +2*Yx \, dx
und ergibt
-fractionReduce(2*Y*X*X+6*Y*X*X,3).
Zusammen ist
\displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} f(x,y) dA = I = A*X*Y {\color{red}K} + fractionReduce(-2*Y*X*X-6*Y*X*X,3)
und
{\color{red}K} = K.