Gegeben sei die Funktion f: \mathbb R^2 \to \mathbb R mit
f(x,y) = e^{x^2 + y^2}.
Berechnen Sie das Integral \displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} f(x,y) dA.
Dabei ist \color{orange}D \subset \mathbb R^2 das Gebiet
{\orange{D}} = \left\{ (x,y) \, | \, \ln(X) \leq x^2 + y^2 \leq \ln(Y) \right\}.
\displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} f(x,y) dA =
Y-X\pi
Hier bieten sich Polarkoordinaten an. Es ist \color{orange}D \subset \mathbb R^2 ein Kreisring
mit inneren Radius \rho_i = \sqrt{\ln(X)} und äusserem Radius \rho_a = \sqrt{\ln(Y)}.
Mit x = r \cos(\varphi), y = r \sin(\varphi) berechnet sich das Integral durch
\displaystyle \int\int_{\orange{D}} f(x,y) dA =
\int_{0}^{2 \pi} \int_{\sqrt{\ln(X)})}^{\sqrt{\ln(Y)}} f (r, \varphi) \boxed{r}\; dr d\varphi.
Es ist hier f(x,y) = e^{x^2 + y^2} = e^{(r \cos(\varphi))^2 + (r \sin(\varphi))^2 }.
Mit Pythagoras und \cos(\varphi)^2 + \sin(\varphi)^2 =1 wird \color{blue}f (r, \varphi) = e^{r^2} .
Eingesetzt rechnen wir
\displaystyle \int\int_{\orange{D}} f(x,y) dA =
\int_{0}^{2 \pi} \int_{\sqrt{\ln(X)})}^{\sqrt{\ln(Y)}}{\color{blue} f (r, \varphi)} \boxed{r}\; dr d\varphi
= \int_{0}^{2 \pi} \int_{\sqrt{\ln(X)})}^{\sqrt{\ln(Y)}} r e^{r^2} \; dr d\varphi =
\int_{0}^{2 \pi} \left(\frac 12 e^{r^2} \bigg|_{\sqrt{\ln(X)})}^{\sqrt{\ln(Y)}} \right) d\varphi = \pi(Y -X)
= Y-X\pi.