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Betrag einer Komplexen Zahl
dgl-01-01
multiple
190
randRangeNonZero( -8, 8 ) randRangeExclude( -8, 8, [ REAL ] ) REAL * REAL + IMAG * IMAG complexNumber( REAL, IMAG )

Sei z = REPRESENTATION. Bestimmen Sie \color{purple}|z|^2.

x \color{purple}|z|^2 = ABS_SQUARE

Geometrisch in der Komplexen Ebene ist der Betrag einer Komplexen Zahl z= {\color{orange}x} + {\color{blue}y} \cdot i der Abstand des Punktes vom Nullpunkt:

graphInit({ range: [[-10, 10], [-10, 10]], scale: 20, tickStep: 2, labelStep: 1, }); label( [11, 0.5], "\\operatorname{Re}", "left" ); label( [0, 10], "\\operatorname{Im}", "right" ); circle( [REAL, IMAG], 3 / 15, { fill: RED, stroke: "none" }); label( [REAL, IMAG], REPRESENTATION, "left", { color: RED, labelDistance: 10 } );
path([ [0,0], [REAL, IMAG]], { stroke: PURPLE });

Wir berechnen also die Länge (oder deren Quadrat) der lila Strecke.

Dies ist die Hypothenuse im rechtwinkeligen Dreieck (0,0), (REAL,0) und (REAL, IMAG), mit Katheten der Länge \color{orange}abs( REAL ) und \color{blue}abs( IMAG ).

path([ [REAL, 0], [REAL, IMAG]], { stroke: BLUE }); path([ [0,0], [REAL,0 ]], { stroke: ORANGE });

Mit Pythagoras rechnen wie:

{\color{purple}|z|^2 =| REPRESENTATION|^2 }= {\color{orange}abs( REAL )}^2 + {\color{blue}abs( IMAG )}^2 = ABS_SQUARE.