Gegeben sei das Vektorfeld K: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 mit
K(x,y) =\begin{pmatrix} A y + e^{\sin(x)} \\
Bx + \sqrt{y^{C} + D} \end{pmatrix}
und das Rechteck unten mit Randkurve \gamma = \partial R.
Berechnen Sie das Arbeitsintegral
\displaystyle \oint_\gamma K d\gamma.
\displaystyle \oint_\gamma K d\gamma=
\displaystyle \oint_\gamma K d\gamma=
Bei einem solch komplizierten Vektorfeld K(x,y) =\begin{pmatrix} Ay + e^{\sin(x)} \\
Bx + \sqrt{y^{C} + D} \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} P(x,y) \\ Q(x,y) \end{pmatrix}
bietet sich die Formel von Green an.
Diese besagt für eine positiv durchlaufende Randkurve \displaystyle \oint_{\gamma = \partial R} K d\gamma = \iint_R (Q_x - P_y)(x,y) dA.
Hier wird \gamma positiv durchlaufen.
Hier wird \gamma negativ durchlaufen.
Kehren wir die Umlaufrichtung um, erhalten wir die positiv durchlaufende Kurve \overline{\gamma}.
Damit ist die Arbeit \displaystyle \oint_\gamma K d\gamma = - \oint_{\overline{\gamma}} K d\gamma = - \iint_R (Q_x - P_y)(x,y) dA.
Die gesuchte Lösung ist dann das Negative des Gebietsintegrals \displaystyle \iint_R (Q_x - P_y)(x,y) dA.
Es sind Q(x,y)_x=(Bx + \sqrt{y^{C} + D} )_x = B und
P(x,y)_y=(A x + e^{\sin(x)})_x = A.
Eingesetzt ist dies \displaystyle \iint_R (Q_x - P_y)(x,y) dA = \iint_R F \ dA.
Dies Integral vereinfacht sich zu
\displaystyle \iint_R FdA = F\iint_R 1 dA = F \cdot Flächeninhalt von R.
= I ist insgesamt
\displaystyle \oint_\gamma K d\gamma = S.
Mit dem Flächeninhalt des Rechtecks = I ist insgesamt wegen der Durchlaufrichtung
\displaystyle \oint_\gamma K d\gamma = - \oint_{\overline{\gamma}} K d\gamma = -S.