Die Funktion f sei definiert durch
f(x)=Ax+B.
Bestimmen Sie f'(X) durch Grenzwertbildung
beim Differentialquotienten.
Die Ableitung einer Funktion f an
einer Stelle \color{blue}{x_0} ist definiert durch
\displaystyle
f'(\color{blue}{x_0}) =
\lim_{x \to \color{blue}{x_0}}\,\frac{f(x)-f(\color{blue}{x_0})}
{x-\color{blue}{x_0}}.
Hier sind
f(x)=Ax+B und
\color{blue}{x_0 = X}.
Das ergibt:
\displaystyle
f'(\color{blue}{X}) =
\lim_{x \to \color{blue}{X}}\,
\frac{(Ax+B)
-(A\cdot\color{blue}{X}+B)}
{x-\color{blue}{X}} =
\lim_{x \to \color{blue}{X}}\,
\frac{Ax-A*X}{x-\color{blue}{X}}.
Der Grenzwert lässt sich nach Kürzen bestimmen.
Es folgt:
\displaystyle
f'(\color{blue}{X}) =
\lim_{x \to \color{blue}{X}}\,
\frac{Ax-A*X}{x-\color{blue}{X}} =
\lim_{x \to \color{blue}{X}}\,
\frac{A(x-\color{blue}{X})}
{x-\color{blue}{X}} =
A.