Die Funktion f sei definiert durch
f(x)=Ax^2+Bx +C.
Bestimmen Sie f'(X) durch Grenzwertbildung
beim Differentialquotienten.
Einsetzen in die Definition ergibt:
\displaystyle
f'(\color{blue}{X}) =
\lim_{x \to \color{blue}{X}}\,
\frac{(Ax^2+Bx +C)-
(A\cdot\color{blue}{X}^2+B \cdot
\color{blue}{X}
+C)}{x-\color{blue}{X}}
Versuchen Sie, den Bruch zu kürzen, um den Grenzwert zu bestimmen.
Es ist:
\displaystyle
\lim_{x \to \color{blue}{X}}\,
\frac{(Ax^2+Bx +C)-
(A\cdot\color{blue}{X}^2+B
\cdot\color{blue}{X}+C)}
{x-\color{blue}{X}} =
\lim_{x \to \color{blue}{X}}\,
\frac{A(x^2-\color{blue}{X}^2) +
B(x-\color{blue}{X})}
{x-\color{blue}{X}}
und mit der Binomischen Formel:
\displaystyle
= \lim_{x \to \color{blue}{X}}\,
\frac{
A
(x+\color{blue}{X})(x-\color{blue}{X}) +
B(x-\color{blue}{X})}
{x-\color{blue}{X}} =
\lim_{x \to \color{blue}{X}}\,
[A(x+\color{blue}{X}) + B].
Der Grenzwert lässt sich nun unter Verwendung der Grenzwertsätze berechnen
Es folgt:
\displaystyle
f'(\color{blue}{X}) =
\lim_{x \to \color{blue}{X}}\,
[A(x+\color{blue}{X}) + B] =
A(\color{blue}{X}+\color{blue}{X})
+ B =
2*A*X+B.