Es sei f definiert durch
f(x)=Ax+B.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f'.
Es gilt nach Definition an einer Stelle
\color{blue}{x_0}:
\displaystyle
f'(\color{blue}{x_0}) =
\lim_{x \to \color{blue}{x_0}}\,
\frac{f(x)-f( \color{blue}{x_0})}{x- \color{blue}{x_0}}.
Einsetzen des Funktionsterms von f ergibt:
\displaystyle
f'(\color{blue}{x_0}) =
\lim_{x \to \color{blue}{x_0}}\,
\frac{(Ax+B)-(A\color{blue}
{x_0}+B)}
{x- \color{blue}{x_0}}
=
\lim_{x \to \color{blue}{x_0}}\,
\frac{A(x- \color{blue}{x_0})}{x- \color{blue}{x_0}} =
A.
Das gilt für alle \color{blue}{x_0} in der
Definitionsmenge von f,
d.h. f' ist definiert durch f'(x) =
A.