Sei f(x) = \sqrt{ax+b}\; mit
x > -b/a.
Bestimmen Sie f'(x).
Schreiben Sie die Wurzel als Potenz:
f(x) =
\left(\color{blue}
{ax+b}\right)^{\Large\frac 12}.
Es handelt sich hier um eine verkettete Funktion. Versuchen Sie die Verkettung zu erkennen und verwenden Sie die Kettenregel.
Schreiben Sie f(x) = u(\color{blue}{v(x)}) mit der äusseren Funktion
u(x) = x^{\Large \frac{1}{2}}
und der inneren Funktion
\color{blue}{v(x) = ax+b}.
Damit ergibt sich:
\displaystyle
f'(x) =
u'(v(x))\cdot v'(x) = \frac 12
\left(\color{blue}{ax+b}\right)^{
\frac 12-1}
\cdot \color{blue}{a}.
Mit
\displaystyle
\left(
\color{blue}{ax+b}\right)^{\Large
\color{red}{
\frac 12-1}} =
\left(\color{blue}{ax+b}
\right)^{\Large\color{red}{-\frac 12}} =
\frac 1{\left(\color{blue}{ax+b}
\right)^{\Large\color{red}{\frac 12}}} =
\frac{1}{\sqrt{\color{blue}{ax+b}}}
haben wir
f'(x)
=fractionReduce(a,2)
\dfrac{1}{\sqrt{ax+b}}.