Für x > 0 sei f definiert durch
f(x) = x^{n} \cdot \log_{a}(x)
.
An der Stelle e^a gilt
f'(e^a) =0.
Bestimmen Sie a.
Verwenden Sie die Produktregel:
f'(x) =
\left(x^{n}
\cdot \log_{a}(x)\right)'
= nx^{n-1} \cdot
\color{darkorange}{\log_{a}(x)} +
\color{blue}x^{n}
\cdot
\left(\log_{a}(x)\right)'
.
Es sind:
\color{darkorange}{\log_{a}(x) =
\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}}
und
\displaystyle \left(\log_{a}(x)\right)' =
\dfrac {1}{\ln (a) \color{blue} x}
.
Zusammenfassen, Kürzen und Nullsetzen liefern die Gleichung:
x^{n-1}
\left(\dfrac{\color{purple}{n\ln (x) + 1}}
{\ln(a)}\right) = 0.
Und damit für x > 0
\color{purple}{n\ln (x) + 1} = 0 \;
\Rightarrow \; \ln(x) =
-\dfrac 1{n} \;
\Rightarrow \; x =
e^{\large -\frac 1{n}}.
a = -\dfrac 1{n}.