Gegeben sei die Funktion f mit
f(x) = x^3 + \color{red}B x^2 + D.
Wenn der Graph von f an der Stelle
\color{green}{x_0 = - 2 * A} ein Extremum hat,
welchen Wert hat dann der Koeffizient \color{red}B \neq 0 ?
Für ein Extremum muss die 1. Ableitung an der Stelle Null sein.
Es ist f'(x) = 3 x^2+ 2 \color{red}B x.
Nullsetzen ergibt
f'(x_0) = 3 x_0^2+ 2 \color{red}B x_0 = 0
und
x_0 (3 x_0+ 2 \color{red}B) = 0.
Einsetzen von \color{green}{x_0 = - 2 * A}
liefert
\color{red}B:
- 6 * A+ 2 B = 0 \Rightarrow \color{red}B
= 3* A
.
Es ist x_0 = - 2 * A tatsächlich eine
Extremalstelle, da
f''(x_0) = f''(- 2 * A) = - 12 * A+
6 * A = - 6 * A \neq 0.