Thomas A. Peterman entdeckte, dass bei gewissen opportunistischen Infektionskrankheiten der zeitliche Verlauf wie folgt beschrieben wird:
Sei B(t)>0 der Anteil aller Infizierter, bei denen im
zeitlichen Abstand
t>0 (in Jahren) nach der Infektion noch
nicht das volle Krankheitsbild feststellbar ist.
Dann gilt: \displaystyle
\frac{B'(t)}{B(t)}=-a\cdot t^n,
mit B(0)=1 und den hier krankheitsspezifischen
Konstanten
a=a und n=n.
Bestimmen Sie \color{red}{\lambda}, sodass
die Funktion B mit
\displaystyle
B(t)=e^{-\color{red}{\lambda} t^{n+1}}
die Gleichung oben erfüllt.
Leiten Sie B mit
\displaystyle
B(t)=e^{-\color{red}{\lambda} t^{n+1}}
nach t ab.
Es ist mit Kettenregel:
\displaystyle
B'(t)=\left(-\color{red}{\lambda} t^{n+1}\right)' \cdot
e^{-\color{red}{\lambda} t^{n+1}}
= -\color{red}{\lambda} (n+1 t^{n})
\cdot B(t).
Damit folgt
\displaystyle
\frac{B'(t)}{B(t)}=
\frac{- \color{red}{\lambda} (n+1 t^{n})
\cdot B(t)}{B(t)}
= - \color{red}{\lambda} (n+1 t^{n}).
Setzen wir dies in auf der linken Seite von
\displaystyle
\frac{B'(t)}{B(t)}=-a\cdot t^n = -a\cdot
t^{n}
ein, bleibt
\displaystyle
-\color{red}{\lambda} (n+1 t^{n}) =
-a\cdot t^{n}.
Diese Gleichung ist genau dann für alle t>0 erfüllt,
wenn \color{red}{\lambda} =
fractionReduce(a,n+1) gilt.