de-CH
utf-8
math math-format graphie polynomials
Geschwindigkeit graphisch bestimmen
d-XX-02
number
54
randRange(1,3) randRange(2,4) randRangeExclude(1,2,[a]) b/a randRange(1,6) 0.333*c/x0 function( t ) { return [x0, t]; }

Frida und Gustav laufen um die Wette und kommen in die letzte Runde.

Zu welchem Zeitpunkt sind die beiden auf dieser gleich schnell ?

Dabei bezeichnen \color{red}{f},\color{blue}{g} jeweils die Position als Funktion in der Zeit t.


graphInit({ range: [[-1, 10],[-0.5, 9.5]], scale: [25,25], tickStep: 1, labelStep: 1, gridOpacity: 0.1, axisOpacity: 0.8, tickOpacity: 0.6, labelOpacity: 0.8 }); label( [ 0, 9 ], "\\color{red}{f(t)}, \\color{blue}{g(t)}", "above" ); label( [ 10, 0 ], "t", "right" ); style({stroke: "black", strokeWidth: 2}); plot(function(x) {return y0 + c*pow(2.718,(x-x0)*m/c);}, [-0.75, 9], {stroke: "red"}); plot(function(x) {return m*x+2;}, [-0.75, 9], {stroke: "blue"});

x0

Gustavs Geschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt konstant gleich der Steigung der blauen Gerade.

Fridas Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t_0 ist die Steigung der Tangente an den Graphen von \color{red}f in (t_0,\color{red}{f(t_0)}).

Da wir die Funktionsgleichungen für \color{red}{f(t)},\color{blue}{g(t)} nicht kennen, suchen wir graphisch die Tangente an den roten Graphen mit der Steigung der blauen Geradensteigung.

Dazu verschieben wir die blaue Gerade oben parallel, bis diese den roten Graphen im roten Punkt berührt.

plot(function(x) {return m*x+c-m*x0+y0;}, [-0.75, 9], {stroke: "orange"});

style({ fill: "orange", stroke: "orange" }, function() { circle( [x0, 0], 0.1 ); }); style({ fill: "red", stroke: "red" }, function() { circle( [x0, y0 +c ], 0.1 ); }); style({ "stroke-dasharray":"."}, function() { line( [x0, y0+0.2 +c-0.2 ], [x0, 0 ] ); });

Und sehen, dass die Beiden zum Zeitpunkt \color{orange}{t_g = x0} gleich schnell sind.