Der Graph einer Exponentialfunktion f verläuft durch
die Punkte P=(X_P,Y_P) und
Q=(X_Q, Y_Q) .
Bestimmen Sie \color{blue}c und
\color{red}a so, dass
f(x)=\color{blue}c \cdot \color{red}a^x
für alle x gilt.
\color{blue}c =
C
\color{red}a =
A
Da die Punkte P = (x_P, y_P) und
Q = (x_Q, y_Q) auf dem Graphen
einer Exponentialfunktion f liegen, müssen sie die
Funktionsgleichungen
y_P = f(x_P)=\color{blue}c\cdot \color{red}a^{x_P} und
y_Q = f(x_Q)=\color{blue}c\cdot \color{red}a^{x_Q}
erfüllen.
Durch Einsetzen von
P=(X_P, Y_P) erhalten
wir
\text{I:} \quad f(X_P) =\color{blue}c \cdot
\color{red}a^{X_P}=Y_P.
Durch Einsetzen von
Q=(X_Q, Y_Q) erhalten
wir
\text{II:} \quad f(X_Q) =\color{blue}c \cdot
\color{red}a^{X_Q}=Y_Q.
Diese beiden Gleichungen:
\displaystyle
\begin{aligned} \text{I:} & & \color{blue}c \cdot
\color{red}a^{X_P} \,& = &
Y_P \\
\text{II:} & & \color{blue}c \cdot
\color{red}a^{X_Q} & = & Y_Q
\end{aligned}
liefern uns dann \color{red}a und
\color{blue}c.
Dieses Gleichungssystem lösen wir zum Beispiel mit dem Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren):
Lösen Sie die Gleichung \text{I} nach \color{blue}c
auf.
\displaystyle
\begin{aligned}
\text{I:} \quad \color{blue}c \cdot \color{red}a^{X_P}
= & Y_P \\
\phantom{\text{I:} \quad} \color{blue}c = &
\frac{Y_P}{\color{red}a^{X_P}}.
\end{aligned}
Nun wird \color{blue}c in Gleichung
\text{II}
eingesetzt und dann nach \color{red}a umgeformt.
\displaystyle
\begin{aligned}
\text{II:} \quad &\color{blue}c \cdot
\color{red}a^{X_Q} &= & &Y_Q \\
\phantom{\text{II:}
\quad} &\frac{Y_P}{ \color{red}a^{X_P}}
\cdot
\color{red}a^{X_Q} &=& & Y_Q \\
\phantom{\text{II:} \quad} &Y_P\cdot
\color{red}a^{X_Q-X_P} &= && Y_Q \\
\phantom{\text{II:} \quad} &\color{red}a^{X_Q-X_P} &=
& &
Y_Q/Y_P \\
\phantom{\text{II:} \quad} &\color{red}a & =& &
\sqrt[X_Q-X_P]{Y_Q/Y_P} = A.
\end{aligned}
Zuletzt kann mit diesem \color{red}a = A
auch \color{blue}c berechnet werden:
\displaystyle
\color{blue}c=
\frac{Y_P}{\color{red}a^{X_P}}=
\frac{Y_P}{A^{X_P}}=C.
Daher sind \color{blue}c=C und
\color{red}a=A .