Der Graph einer Exponentialfunktion f verlaufe durch
die Punkte P=(0,C) und
Q=(X,Y).
Bestimmen Sie \color{blue}c und
\color{red}a so, dass
f(x)=\color{blue}c \cdot \color{red}a^x
für alle x gilt.
\color{blue}c =
C
\color{red}a =
A
Da die Punkte P = (0 , y_P) und
Q = (x_Q , y_Q) auf dem Graphen
einer Exponentialfunktion f liegen, müssen sie die
Funktionsgleichungen
y_P = f(0)=\color{blue}c\cdot \color{red}a^{0} und
y_Q = f(x_Q)=\color{blue}c\cdot \color{red}a^{x_Q}
erfüllen.
Durch Einsetzen von
P=(0,C) erhalten wir
\color{blue}c:
f(0) =\color{blue}c \cdot
\color{red}a^{0}=\color{blue}c =C.
Mit diesem Zwischenergebnis und durch Einsetzen von
Q=(X,Y) folgt:
\displaystyle
f(X) =\color{blue}{C}\cdot
\color{red}a^{X} =
Y.
Die Gleichung wird nun nach \color{red}a
aufgelöst.
\displaystyle
\color{blue}{C} \cdot
\color{red}a^{X}=Y
\displaystyle
\color{red}a
=\sqrt[X]
{\frac{Y}{C}}=
\sqrt[X]{Wurzel}=
A
Daher sind \color{blue}c=C und
\color{red}a=A .