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Ermittlung Funktionsgleichung durch zwei Werte, eine Koordinate fest
e-02-03
multiple
120
randRangeExclude(-6,6,[0,1]) randRange(2,6) randRange(3,5) C*pow(A,X) fractionReduce(Y,C)

Der Graph einer Exponentialfunktion f verlaufe durch die Punkte P=(0,C) und Q=(X,Y).

Bestimmen Sie \color{blue}c und \color{red}a so, dass f(x)=\color{blue}c \cdot \color{red}a^x für alle x gilt.

c \color{blue}c = C
a \color{red}a = A

Da die Punkte P = (0 , y_P) und Q = (x_Q , y_Q) auf dem Graphen einer Exponentialfunktion f liegen, müssen sie die Funktionsgleichungen

y_P = f(0)=\color{blue}c\cdot \color{red}a^{0} und y_Q = f(x_Q)=\color{blue}c\cdot \color{red}a^{x_Q} erfüllen.

Durch Einsetzen von P=(0,C) erhalten wir \color{blue}c:

f(0) =\color{blue}c \cdot \color{red}a^{0}=\color{blue}c =C.

Mit diesem Zwischenergebnis und durch Einsetzen von Q=(X,Y) folgt:

\displaystyle f(X) =\color{blue}{C}\cdot \color{red}a^{X} = Y.

Die Gleichung wird nun nach \color{red}a aufgelöst.

\displaystyle \color{blue}{C} \cdot \color{red}a^{X}=Y

\displaystyle \color{red}a =\sqrt[X] {\frac{Y}{C}}= \sqrt[X]{Wurzel}= A

Daher sind \color{blue}c=C und \color{red}a=A .