Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem:
expr(["+", ["*", A1, "x"], ["*", B1, "y"]])=C1 expr(["+", ["*", A2, "x"], ["*", B2, "y"]]) =
C2
Bestimmen Sie die Lösungen \color{blue}x und \color{red}y.
\color{blue}{x}
=
X_NUMER2 / X_DENOM2
\color{red}{y}
=
Y_NUMER / Y_DENOM
Eine Möglichkeit, dieses Gleichungssystem zu lösen, liefert das Eliminationsverfahren.
Um \color{blue}{x} zu eliminieren, muss der Koeffizient in der einen Gleichung den Koeffizienten in der zweiten Gleichung aufheben.
Um \color{red}{y} zu eliminieren, muss der Koeffizient in der einen Gleichung den Koeffizienten in der zweiten Gleichung aufheben.
expr(["*", A1, "x"]) +
expr(["*", B1, "y"]) = C1
expr(["*", A2, "x"]) +
expr(["*", B2, "y"]) = C2.
Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit MULT_A und die zweite Gleichung mit MULT_B.
expr(["*", A1 * MULT_A, "x"])+
expr(["*", B1 * MULT_A, "y"]) = C1 * MULT_A
expr(["*", A2 * MULT_B, "x"]) +
expr(["*", B2 * MULT_B, "y"])= C2 * MULT_B.
Addieren Sie die beiden Gleichungen:
expr(["*", Y_DENOM1, "y"]) = Y_NUMER1.
Dividieren Sie beide Seiten durch Y_DENOM1 und vereinfachen Sie die
Gleichung.
\color{red}{y} = fractionReduce(Y_NUMER, Y_DENOM).
Substituieren Sie fractionReduce(Y_NUMER, Y_DENOM) für \color{red}{y} in der ersten Gleichung
und rechnen:
expr(["*", A1, "x"]) +
B1(fractionReduce(Y_NUMER, Y_DENOM)) = C1
expr(["*", A1, "x"]) +
fractionReduce(B1 * Y_NUMER, Y_DENOM) = C1
expr(["*", A1, "x"]) = fractionReduce(C1 * Y_DENOM - B1 * Y_NUMER, Y_DENOM)
x = fractionReduce(X_NUMER, X_DENOM).
So erhalten Sie \color{blue}{x = fractionReduce(X_NUMER, X_DENOM)} und
\color{red}{y = fractionReduce(Y_NUMER, Y_DENOM)}.
Addieren Sie die beiden Gleichungen:
expr(["*", X_DENOM2, "x"]) = X_NUMER2.
Dividieren Sie beide Seiten durch X_DENOM2
und vereinfachen Sie die Gleichung.
\color{blue}x = fractionReduce(X_NUMER2, X_DENOM2).
Substituieren Sie fractionReduce(X_NUMER2, X_DENOM2) für \color{blue}{x} in der ersten Gleichung
und rechnen:
A1(fractionReduce(X_NUMER2, X_DENOM2)) +
expr(["*", B1, "y"]) = C1
fractionReduce(A1 * X_NUMER2, X_DENOM2) +
expr(["*", B1, "y"]) = C1
expr(["*", B1, "y"]) = fractionReduce(C1 * X_DENOM2 - A1 * X_NUMER2, X_DENOM2)
.
So erhalten Sie zusammen \color{blue}{x = fractionReduce(X_NUMER2, X_DENOM2)} und
\color{red}{y = fractionReduce(Y_NUMER, Y_DENOM)}.