Nach Definition ist

\displaystyle \int_0^{B} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x \right).

Dabei zerlegen wir das Intervall [0,B] in n Teilintervalle [x_i,x_{i+1}] mit derselben Breite \displaystyle \Delta x = \frac{B -0}n. Folglich ist x_i = i \cdot \dfrac{B}n.

Setzen Sie ein und versuchen Sie den Grenzwert zu bestimmen.

Es ergibt sich:

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^{n-1} a \cdot i \cdot \frac{B}{n} \cdot \frac{B}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{a*B*B}{n^2} \sum_{i=0}^{n-1} i \right) .

Verwenden Sie nun, dass gilt: \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} i = \frac{(n-1)n}{2}.

Es folgt:

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a*B*B}{\color{blue}{n^2}} \sum_{i=0}^{n-1} i \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a*B*B}{\color{blue}{n^2}} \cdot \frac{(n-1)n}{2} \right) = \dfrac{a*B*B}{2} \cdot \color{blue}{\lim_{n \to \infty} \frac{(n-1)n}{n^2}}.

Der Grenzwert ist

\displaystyle \color{blue}{\lim_{n \to \infty} \frac{(n-1)n}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} 1-\frac{1}{n} = \color{blue}1.

Und damit zusammen

\displaystyle \int_{0}^{B} a x \, dx = \dfrac{a*B*B}{2} \cdot \color{blue}1 = fractionReduce(a*B*B,2).