Berechnen Sie von Hand mit einer Riemannschen Summe:
\displaystyle\int_{0}^{B} a x^2 \, dx.
Nach Definition ist
\displaystyle
\int_0^{B} f(x) \, dx =
\lim_{n \to \infty}
\left( \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x \right).
Dabei zerlegen wir das Intervall [0,B]
in n Teilintervalle [x_i,x_{i+1}]
mit derselben Breite \displaystyle \Delta x =
\frac{B -0}n.
Folglich ist x_i = i \cdot \dfrac{B}n.
Setzen Sie ein und versuchen Sie den Grenzwert zu bestimmen.
Es ergibt sich:
\displaystyle
\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x \right)
= \lim_{n \to \infty}
\left( \sum_{i=0}^{n-1} a \cdot \left( i \cdot
\frac{B}{n} \right)^2 \cdot \frac{B}{n}
\right)
= \lim_{n \to \infty} \left(
\dfrac{a\cdotB^3}{n^3}
\cdot \sum_{i=0}^{n-1} i^2 \right).
Verwenden Sie nun, dass gilt:
\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} i^2 =
\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}.
Es folgt
\displaystyle
\lim_{n \to \infty}
\left( \dfrac{a\cdotB^3}
{\color{darkorange}{n^3}}
\cdot \sum_{i=0}^{n-1} i^2 \right)
= \lim_{n \to \infty}
\left( \dfrac{a\cdotB^3}
{\color{darkorange}{n^3}}
\cdot \frac{n(n-1)(2n-1)}{\color{red}6} \right)
\displaystyle
= \color{red}{\dfrac{a\cdotB^3}{6}} \cdot
\lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)(2n-1)}{\color{darkorange}{n^3}}.
Der Grenzwert ist
\displaystyle
\lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)(2n-1)}{n^3}
= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3-2n-3n^2}{n^3}
= \lim_{n \to \infty} 2 - \frac 3{n} + \frac{1}{n^2}
= \color{blue}2.
Und zusammen:
\displaystyle
\int_{0}^{B} a x^2 \, dx
= \color{red}{\frac{a*B*B*B}{6}} \cdot \color{blue}2
= fractionReduce(a*B*B*B,3).