Bestimmtes Integral als Flächenbilanz

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math math-format polynomials graphie

i-03-01

number

0 randRange(1,7) c*2+1 function( t ) { return [t, sin(t)]; } function( t ) { return [t, 0]; }

Es ist \displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin(x) \,dx = 2. Bestimmen Sie \displaystyle \int_{ piFraction(a*3.14,1,0.1)}^ {piFraction(b*3.14,1,0.1)} \sin(x) \,dx.

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Verwenden Sie die geometrische Interpretation des bestimmten Integrals als Flächenbilanz.

Der Graph der Sinusfunktion ist:

graphInit({ range: [[ -0.1 * PI, 4.1* PI ],[ -1.2, 1.2 ]], scale: [ 40, 40 ], gridStep: [PI , .5 ], tickStep: [ 1, 2 ], labelStep: [ , 1], unityLabels: true, }); // draw curve style({ stroke: BLUE, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return sin (x); }, [ - 0.5 * PI, 4.1 * PI ] ); });

Mit der Flächenbilanz ist \displaystyle \int_\pi^{3\pi} \sin(x) dx = 0.

style({ fill: BLUE, stroke: BLUE, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( fn1, [PI, 3*PI], 1, fn2); });

Die Sinusfunktion ist periodisch mit Periodenlänge 2\pi.

Durch jede Verlängerung um 2\pi bleibt das Integral 0: \displaystyle \int_{\pi}^{\large 3 \pi + \color{blue}{k} \,(2\pi)} \sin(x) \, dx= 0 für jede beliebige natürliche Zahl \color{blue}{k}.

Damit rechnen wir:

\displaystyle \int_{piFraction(a*3.14,1,0.1)} ^{piFraction(b*3.14,1,0.1)} \sin(x) \,dx = \int_{0}^{\color{red}\pi} \sin(x) \,dx + \int_{\color{red}\pi} ^{\large 3\pi + \color{blue}{c-1} \cdot (2 \pi)} \sin(x) \,dx = 2 + 0 = 2