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math graphie polynomials math-format
Bestimmtes Integral als Flächenbilanz
i-03-04
number
27
randRangeNonZero(-4,4) randRange(1,3) C-A-1 C+A+1 function( t ) { return [t, pow(t - C, 3)]; } function( t ) { return [t, 0]; }

Wie gross darf \color{red} b höchstens sein, damit gilt \displaystyle \int_{L}^{\color{red}b} (x-C)^3 \; dx \leq 0 ?

U

Betrachten Sie den Graph der Funktion f mit f(x) = (x-C)^3.

graphInit({ range: [[ -10, 10 ] ,[ -10, 10 ]], scale: [ 12, 12 ], gridStep: [ 2, 2 ], tickStep: [ 10, 10 ], labelStep: [ 10, 10 ], unityLabels: true, }); // draw curve style({ stroke: BLUE, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return pow(x - C, 3); }, [ L, U ] ); }); style({ fill: RED, stroke: RED }); circle( [U, 0], 0.25 ); style({ fill: PURPLE, stroke: RED }); circle( [L, 0], 0.25 ); style({ fill: ORANGE, stroke: ORANGE }); circle( [C, 0], 0.25 );

Er ist symmetrisch zum Punkt \color{orange}{(C,0)}, und wir sehen, dass das linke Flächenstück zwischen Graph und x-Achse von der unteren Grenze \color{purple}{L} bis \color{orange}{C} gleich dem rechten Flächenstück von \color{orange}{C} bis \color{orange}{C}+ (\color{orange}{C} - \color{purple}{negParens(L)}) = \color{red}{2*C-L} ist.

style({ fill: BLUE, stroke: BLUE, opacity: 0.5}, function() { plotParametric( fn1, [L, U], 1, fn2); });

Schreiben wir die Flächeninhalte als Integrale, sehen wir

\displaystyle \text{Links} = - \int_{\color{purple}{L}}^{\color{orange}{C}} (x-C)^3 \; dx = \text{Rechts} = \int_{\color{orange}{C}}^{\color{red}{2*C-L}} (x-C)^3 \; dx und damit

\displaystyle 0 = \int_{L}^{C} (x-C)^3 \; dx + \int_{C}^{2*C-L} (x-C)^3 \; dx = \int_{L}^{\color{red}{2*C-L}} (x-C)^3 \; dx .

Mit wachsendem b \geq C wächst auch \displaystyle \int_{L}^{\color{red}b} (x-C)^3 \; dx.

Daher muss \color{red}{b \leq 2*C-L} sein.