Es sind \displaystyle I_a(x) =
\int_{a}^{x} c t\; dt
und
\displaystyle I_a+b(x) = \int_{a+b}^{x}
c t\; dt
zwei Integralfunktionen.
Gemäss Hauptsatz sind beides Stammfunktionen
der Funktion f mit
f(x) = c x.
Sie unterscheiden sich daher nur um eine Konstante.
Bestimmen Sie diese Konstante \color{red}C so, dass
I_a(x) = I_a+b(x) + \color{red}C
ist.
Ausgeschrieben soll gelten:
\displaystyle
\color{blue}{\int_{a}^{x} c t\; dt}
= \int_{a+b}^{x} c t\; dt+ \color{red}C
.
Diese Gleichung lässt sich vereinfachen, wenn Sie das Integral
auf der
\color{blue}{\text{linken Seite}} geschickt zerlegen.
Es ist
\displaystyle
\color{blue}
{\int_{a}^{a+b} c t\; dt +
\int_{a+b}^{x} c t\; dt}
= \int_{a+b}^{x} c t\; dt+ \color{red}C.
(Für x \geq a+b lässt sich diese Zerlegung
direkt geometrisch veranschaulichen.
Machen Sie sich klar, dass sie auch für
beliebige, x korrekt ist!)
Wenn wir auf beiden Seiten
\displaystyle \int_{a+b}^{x} c t\; dt
subtrahieren, erhalten wir:
\displaystyle
\int_{a}^{a+b} c t\; dt
= \color{red}C.
Die Konstante lässt sich nun mit dem Hauptsatz berechnen:
\displaystyle
\color{red}C=
\int_{a}^{a+b} c t\; dt =
c\left(\frac 12 t^2
\bigg|_{a}^{a+b}\right) =
(c/2)*((a+b)*(a+b)-a*a).