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Anwendung Integralrechenregeln
i-06-02
number
200
randRange(1,10) randRangeNonZero(-10,10) function( t ) { return [t, abs(t)]; } function( t ) { return [t, 0]; } function( t ) { return [t, -t*t]; }

Sei f eine gerade Funktion mit

\displaystyle\int_{0}^{U} f(x)\; dx = I.

Berechnen Sie

\displaystyle\int_{-U}^{0} f(x) \; dx.

I

Der Graph einer geraden Funkion ist symmetrisch bezüglich der y-Achse.

Hier sehen wir zwei Beispielgraphen im gleichen Koordinatensystem:

graphInit({ range: [[ -2.5, 2.5 ], [ -1, 2.5 ] ], scale: [ 30, 30 ], gridStep: [ 1, 1 ], tickStep: [ 3, 3 ], labelStep: [ 3, 3 ], unityLabels: true, }); // draw curve style({ stroke: BLUE, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return abs (x); }, [ -2, 2 ] ); }); graphInit({ range: [[ -2.5, 2.5 ], [ -4.5, 2.5 ] ], scale: [ 30, 30 ], gridStep: [ 1, 1 ], tickStep: [ 3, 3 ], labelStep: [ 3, 3 ], unityLabels: true, }); // draw curve style({ stroke: ORANGE, strokeWidth: 2.2 }, function() { plot( function( x ) { return - x*x; }, [ -2, 2 ] ); });

Die Flächenstücke sind jeweils gleich gross.

style({ fill: BLUE, stroke: BLUE, opacity: 0.5 }, function() { plotParametric( fn1, [-2, 2], 1, fn2); }); style({ fill: ORANGE, stroke: ORANGE, opacity: 0.5 }, function() { plotParametric( fn3, [-2, 2], 1, fn2); });

Am symmetrischen Graphen sehen wir damit:

\displaystyle \pm\left( \int_{\color{red}{-U}}^{\color{blue}{0}} f(x)\; dx \right) = Linke Fläche = Rechte Fläche = \pm\left( \displaystyle \int_{0}^{U} f(x)\; dx\right) .

Daher gilt:

\displaystyle \int_{\color{red}{-U}}^{\color{blue}{0}} f(x)\; dx = I.