Bei einem Wechsel der Basis von \color{orange}b nach \color{blue}a gilt für die Logarithmen:

\log_{\color{blue}a} (x) = \dfrac{ \log_{\color{orange}b} (x)} {\log_{\color{orange}b} ( \color{blue}a)} .

oder umgestellt

\log_{\color{orange}b} ( \color{blue}a) \cdot \log_{\color{blue}a} (x) = \log_{\color{orange}b} (x) .

Setzen wir nun x = \color{orange}b^{p} auf beiden Seiten der Gleichung ein, folgt mit \log_{\color{orange}b} (\color{orange}b^{p}) = p und \color{orange}b = b und \color{blue}a = a:

\log_{\color{orange}b} ( \color{blue}a) \cdot \log_{\color{blue}a} (\color{orange}b^{p}) = \log_{\color{orange}b} (\color{orange}b^{p}) = p.