Sie sitzen an einem heissen Sommertag mit einer
Lufttemperatur von A0 {}^\circ C
am Strand.
Um sich mit einem kalten Getränk zu erfrischen, stellen Sie eine sich mit der Luft im Temperaturgleichgewicht befindliche Getränkedose in ihre neue Kühlbox.
Der Händler des Geräts hat ihnen eine exponentielle
Abkühlung von GR\% pro Stunde
des Inhalts zugesichert.
Wie viele Stunden müssen Sie ihr Getränk in der Kühlbox
belassen, bevor es angenehme AT {}^\circ
C erreicht hat?
Rechnen Sie mit allfälligen genauen Zwischenergebnissen und runden Sie das Endresultat auf eine Stelle nach dem Komma und ignorieren Sie auftretende Einheiten.
Die Termdarstellung der Temperaturfunktion hat die
Form: T(t) = T_0 \cdot b^t.
Welche Bedeutung hat T(0) und
welchen Wert muss T_0 daher
annehmen?
Da b^0=1 gilt, ist
T(0)=T_0 und beschreibt die
Temperatur zu Beginn des Kühlzeitraumes, daher
gilt:
T_0=A0 {}^\circ C.
Der Wert der Basis b ist gegeben durch
1 - R, wobei R die
stündliche Abkühlung in Prozent ist.
Die stündliche Abkühlung ist gegeben durch
R=GR\%.
Die Basis b ist daher
b=1-\dfrac{GR}{100}=
roundTo(10,1-GR/100).
Die Gleichung für den gesuchten Zeitpunkt
lautet \color{blue}{t_{cool}} =
\color{blue}{t_c}
daher:
T(\color{blue}{t_c}) =
AT {}^\circ C =
A0 {}^\circ C \cdot
roundTo(10,1-GR/100)^{\color{blue}{t_c}}
.
Diese Gleichung müssen Sie nun nach
\color{blue}{t_c} auflösen!
Division durch
A0{}^\circ C liefert:
\displaystyle
\frac{AT}{A0}=
roundTo(10,1-GR/100)^{\color{blue}{t_c}}
Um die gesuchte Zahl \color{blue}{t_c}
im
Exponenten freizustellen, verwenden wir die
Rechenregel des Logarithmus:
\ln a^x = x \cdot \ln a.
Wenden Sie nun den Logarithmus auf beiden Seiten der
Gleichung
\displaystyle
\frac{AT}{A0}=
roundTo(10,1-GR/100)^{\color{blue}{t_c}}
an und benutzen Sie diese Rechenregel,
um nach
\color{blue}{t_c}
aufzulösen.
Sie finden daher die Lösung durch Berechnung von:
\displaystyle
\color{blue}{t_c} = \frac{\ln
\left(\frac{AT}{A0}\right)}
{\ln roundTo(10,1-GR/100)} = \frac{\ln
AT-\ln A0}{\ln
roundTo(10,1-GR/100)}, da
\ln \left(\dfrac{u}{v}\right)
= \ln u - \ln v
ist.
Die Lösung ist daher:
\displaystyle \color{blue}{t_c} =
\frac{\ln AT-\ln A0}{\ln
roundTo(10,1-GR/100)} \approx
sol.