Eine befreundete Sozialwissenschaftlerin bittet Sie, die Ausbreitung eines Gerüchts mittels exponentiellen Wachstums zu modellieren.
Nehmen Sie dabei an, dass eine einzelne Person ein
Gerücht in die Welt setzt und die Anzahl der
Personen, die von dem Gerücht wissen, täglich um
GR\% steigt.
Ihre Freundin möchte nun von Ihnen wissen, nach wie
vielen Tagen insgesamt NT
Personen von diesem Gerücht gehört haben.
Rechnen Sie mit allfälligen genauen Zwischenergebnissen und runden Sie das Endresultat zu ganzen Tagen auf.
Die Termdarstellung der Anzahl an Personen hat die
Form: N(t) = N_0 \cdot b^t.
Bedenken Sie, welche Bedeutung N(0)
hat und welchen Wert N_0 daher
annehmen muss.
Da b^0=1 gilt, ist
N(0)=N_0 und beschreibt die Anzahl
der Personen, die das Gerücht in die Welt setzen,
daher gilt: N_0=1.
Der Wert der Basis b ist gegeben durch
1 + R, wobei R der
täglichen Zuwachs in Prozent an Personen, die von
dem Gerücht wissen, ist.
Der tägliche Zuwachs ist gegeben durch
R=GR\%.
Die Basis b ist daher
b=1+\dfrac{GR}{100}=
roundTo(10,1+GR/100).
Die Gleichung für den gesuchten Zeitpunkt
\color{red}{t_G} lautet daher:
N(\color{red}{t_G}) = NT =
roundTo(10,1+GR/100)^{\color{red}{t_G}}
.
Sie müssen nun für die Lösung des Problems auf
\color{red}{t_G} auflösen.
Um die gesuchte Zahl
\color{red}{t_G}
im Exponenten freizustellen, verwenden wir die
Rechenregel des Logarithmus:
\ln a^x = x \cdot \ln a.
Wenden Sie nun den Logarithmus auf beiden Seiten
der Gleichung
NT =
roundTo(10,1+GR/100)^{\color{red}{t_G}}
an und benutzen Sie diese
Rechenregel, um nach
\color{red}{t_G} aufzulösen.
Die Lösung ist dann:
\color{red}{t_G}
= \dfrac{\ln NT}
{\ln roundTo(10,1+GR/100)} \approx
sol.