Ein Mensch, der zu keinem Zeitpunkt in seinem Leben
geraucht hat, erkrankt mit einer Wahrscheinlichkeit
von ca. 1\% an Lungenkrebs.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein/e Raucher/in, die/der
über Jahre hinweg 20 Zigaretten oder
mehr pro Tag geraucht hat, an Lungenkrebs erkrankt,
nimmt nach dem Aufhören des Rauchens mit der Zeit
kontinuierlich ab.
Sei
f(t) die Wahrscheinlichkeit in %, dass ein/e
ehemalige/r Raucher/in nach t Jahren des
Rauchverzichts an Lungenkrebs erkrankt.
Wir nehmen dabei ungefähr folgende
Entwicklung an
\displaystyle f(t) = 40 \cdot
e^{-\frac{16}{100}t}.
Anschaulich bedeutet das: In einer Gruppe von jeweils 100 Nichtrauchern und 100 Rauchern des obigen Typs erkranken im Schnitt 1 von 100 Nichtrauchern und 40 von 100 Rauchern an Lungenkrebs.
Angenommen, dass ein/e (ehemalige) Raucher/in in den
letzten
p Jahren nicht geraucht
hat:
Wie viele Jahre muss sie/er dann weiter warten,
bis ihr/sein Risiko einer Lungenkrebserkrankung
nochmals nur ein \dfrac 1{q}
des jetzigen Risikos beträgt ?
Rechnen Sie mit allfälligen genauen Zwischenergebnissen und runden Sie das Endresultat auf ganze Jahre.
Seien \color{blue}{t_{no}} die Jahre
des Nichtrauchens. Dann suchen wir
\color{red}{t_H} mit
\displaystyle
\frac{f(\color{blue}{t_{no}})}{q}
= f(\color{red}{t_H}).
Wir setzen ein und erhalten
\displaystyle
\frac{
40 \cdot
e^{-\frac{16}{100}\color{blue}{t_{no}}}}
{q}=
40 \cdot
e^{-\frac{16}{100}\color{red}{t_H}}.
Dies vereinfacht sich (mit Potenzgesetzen und dem richtigen Vorzeichen) zu
\displaystyle
e^{\frac{16}{100}\color{red}{t_H}}
\cdot e^{-\frac{16}{100}\color{blue}{t_{no}}} =
e^{\frac{16}{100}(\color{red}{t_H}-\color{blue}{t_{no}})}
= q.
Die Differenz
\color{red}{t_H}-\color{blue}{t_{no}}
gibt nun die gesuchte Zahl an Jahren, und wir rechnen
\displaystyle
\ln \left(
e^{\frac{16}{100}(\color{red}{t_H}
-\color{blue}{t_{no}})} \right)
=
\frac{16}{100}(\color{red}{t_H}-\color{blue}{t_{no}})
= \ln (q).
Somit erhalten wir
\displaystyle
\color{red}{t_H}-\color{blue}{t_{no}}
=\frac{100}{16}\ln (q) \approx
sol.