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math math-format graphie polynomials
Exponentialfunktion graphisch bestimmen
l-08-01
number
800
randRange(2,6) 0.5 * randRange(1,4) randRange(-2,2) 0.25 * randRange(1,8) fractionReduce(4 * x0 ,4) function( x ) {return m*x+n}

Beim Zeichnen des Graphen einer Funktion \color{blue}{f} hat jemand so an der y-Achse gezogen, dass die Gerade unten entstanden ist :

graphInit({ range: [[-1, 5],[-3, F(4) + 1]], scale: [20,20], gridStep: [ 1 , 1 ], tickStep: [ 1 , 2 ], labelStep: [ 1 , F(4) + 2], gridOpacity: 0.1, axisOpacity: 0.8, tickOpacity: 0.6, labelOpacity: 0.8 }); unityLabels: true, label( [ 5, 0 ], "x", "right" ); label( [ -0.5, F(0) ], "\\color{red}{b}^{F(0)}", "left" ); label( [ -0.5, F(2) ], "b^{F(2)}", "left" ); label( [ -0.5, F(4) ], "b^{F(4)}", "left" ); style( { stroke: BLUE , strokeWidth: 2, }, function() {plot( F, [ -0.5, 5 ] ); } );


Bestimmen Sie

\log_{\color{red}b}\left(\color{blue}{ f} \left(\color{orange}{redx0} \right)\right)

F(x0)

Um den Wert \color{blue}{f} \left(\color{orange}{redx0} \right) zu bestimmen, benötigen wir die Gleichung der Geraden \color{purple}{g} mit \color{purple}{g(x)}=m \cdot x + b .

Damit gilt dann \color{blue}{f(x)} = \color{red}{b}^{\color{purple}{g(x)}} und \log_{\color{red}b} \left(\color{blue}{f} \left(\color{orange}{redx0} \right)\right) = \color{purple}{g}\left( \color{orange}{redx0} \right).

An der y-Achse mit den gleichen Abständen wie auf der x-Achse lesen wir g(0)=m \cdot 0 + b = b = F(0) ab.

Mit den Punkten (0,\color{purple}{g(0)}) und (4,\color{purple}{g(4)}) erhalten wir die Steigung

\displaystyle m = \frac{\color{purple}{g(4)} - \color{purple}{g(0)}}{4-0} = \frac{F(4) - F(0)}{4} = fractionReduce(F(4) - F(0),4).

Zusammen ist \color{blue}{f(x)} = \color{red}{b}^{\color{purple}{g(x)}} mit \color{purple}{g(x)} = fractionReduce(F(4) - F(0),4) \cdot x + n .

Und das gesuchte \log_{\color{red}b}\left( \color{blue}{f} \left(\color{orange}{redx0} \right)\right) ist gleich

\log_{\color{red}b} \left(\color{blue}{f} \left(\color{orange}{redx0} \right)\right) = \color{purple}{g}\left( \color{orange}{redx0} \right) = fractionReduce(F(4) - F(0),4) \cdot \color{orange}{redx0} + n = fractionReduce( 4 * (m * x0 + n) ,4).