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math graphie polynomials math-format
Logarithmuskurve noch mehr ausgleichen
l-08-2
number
72
randRange(2,9) randRange(2,4) randRange(2,4)

Bestimmen Sie \color{red}C so, dass die Kurve unten zum Graphen der Funktion f mit f(x) = \color{red}C \cdot \log_{\color{blue}{pow(base,p)}}(x) passt.

graphInit({ range: [[-0.2, 5],[-2*c, 2*c]], scale: [24,24/c], tickStep: [1,1], gridStep: [1,1*c], labelStep: [1,1], gridOpacity: 0.1, axisOpacity: 0.8, tickOpacity: 0.6, labelOpacity: 0.8 }); label( [ 0, 2*c ], "f(x)", "above" ); label( [ 5, 0 ], "x", "right" ); style({stroke: "black", strokeWidth: 2}); plot(function(x) {return c*Math.log(x)/Math.log(base);}, [0.00001, 17], {stroke: "red"});
c*p

Die Basis des Logarithmus ist hier \color{blue}{pow(base,p)} = base^{\color{blue}{p}}.

Wir führen den gegeben Logarithmus \log_{\color{blue}{pow(base,p)}}(x) = \log_{base^{\color{blue}{ p}}}(x) auf \log_{base}(x) zurück.

Mit dem Basiswechsel sehen wir:

\displaystyle \log_{\color{blue}{pow(base,p)}}(x) = \log_{base^{\color{blue}{ p}}}(x) = \frac{\log_{base}(x)}{ \log_{pow(base,1)}( \color{blue}{pow(base,p)}) } = \frac{\log_{base}(x)}{ \log_{pow(base,1)}( base^{ \color{blue}{p}}) } = \frac 1{\color{blue}{p}} \cdot \log_{base}(x).

Damit schreiben wird die Funktion um:

\displaystyle f(x) = \color{red}C \cdot \log_{\color{blue}{pow(base,p)}}(x) = \frac{\color{red}C}{\color{blue}{p}}\cdot \log_{base}(x).

Am Graphen sehen wir den (gewünschten) Funktionswert an der Stelle \color{teal}{x = base}:

\displaystyle f(\color{teal}{base}) = \frac{\color{red}C} {\color{blue}{p}} \cdot \log_{base} (\color{teal}{base}) = \frac{\color{red}C} {\color{blue}{p}} \cdot \color{teal} 1 = c.

Und damit \color{red}C = \color{blue}{p} \cdot c = p*c.