Im folgenden Bild sehen Sie den Graphen der Logarithmusfunktion mit
\color{red}{f(x) = \log_base(x)}.
Welche Farbe hat der Graph der Funktion g mit
g(x) = \log_{\frac 1{base}} (x)?
graphInit({ range: [[-5, 5],[-5, 5]], scale: [40,40], tickStep: [1,1], gridStep: [1,1], labelStep: [1,1], gridOpacity: 0.1, axisOpacity: 0.8, tickOpacity: 0.6, labelOpacity: 0.8 }); label( [ 0, 5 ], "f(x)", "above" ); label( [5, 0 ], "x", "right" ); style({stroke: "black", strokeWidth: 2}); plot(function(x) {return Math.log(x)/Math.log(base);}, [0.00001, 5], {stroke: "red"}); plot(function(x) {return Math.log(x)/Math.log(1/base);}, [0.00001, 5], {stroke: "green"}); plot(function(x) {return Math.log(x)/Math.log(pow(base,2));}, [0.00001, 5], {stroke: "blue"}); plot(function(x) {return pow(base,x);}, [-5, Math.log(6)/Math.log(base)], {stroke: "orange"});
Der Logarithmus von x zur Basis
\dfrac 1{base} ist y = \log_{
\frac 1{base}
} (x) diejenige reelle Zahl, für die gilt:
x=
\left(\dfrac 1{base}\right)^y.
Mit den Potenzgesetzen ist:
x=
\left(\dfrac 1{base}\right)^y =
\left(base^{-1}\right)^y =
\left(base\right)^{-y}.
Anwenden des Logarithmus zur Basis base auf
diese Gleichung liefert:
\log_{base}(x) = \log_{base}
(base^{-y}) = -y = -
\log_{
\frac 1{base}
} (x).
Daher ist f(x)=-g(x). Für den Graphen bedeutet dies,
dass sich die beiden Funktionswerte jeweils an der gleichen Stelle
x um das Vorzeichen unterscheiden.
Geometrisch zeigt sich dies durch einer Spiegelung an der
x-Achse.
Nach der Spiegelung des roten Graphen
an der x-Achse sehen wir, dass dieser mit dem
grünen Graphen übereinstimmt.