de-CH
utf-8
math
MC: Spiegelung
l-09-MC
radio
1
randRange(2, 6)

Im folgenden Bild sehen Sie den Graphen der Logarithmusfunktion mit \color{red}{f(x) = \log_base(x)}.

Welche Farbe hat der Graph der Funktion g mit g(x) = \log_{\frac 1{base}} (x)?

graphInit({ range: [[-5, 5],[-5, 5]], scale: [40,40], tickStep: [1,1], gridStep: [1,1], labelStep: [1,1], gridOpacity: 0.1, axisOpacity: 0.8, tickOpacity: 0.6, labelOpacity: 0.8 }); label( [ 0, 5 ], "f(x)", "above" ); label( [5, 0 ], "x", "right" ); style({stroke: "black", strokeWidth: 2}); plot(function(x) {return Math.log(x)/Math.log(base);}, [0.00001, 5], {stroke: "red"}); plot(function(x) {return Math.log(x)/Math.log(1/base);}, [0.00001, 5], {stroke: "blue"}); plot(function(x) {return Math.log(x)/Math.log(pow(base,2));}, [0.00001, 5], {stroke: "green"}); plot(function(x) {return pow(base,x);}, [-5, Math.log(6)/Math.log(base)], {stroke: "orange"});

Blau

Der Logarithmus von x zur Basis \dfrac 1{base} ist y = \log_{ \frac 1{base} } (x) diejenige reelle Zahl, für die gilt:

x= \left(\dfrac 1{base}\right)^y.

Mit den Potenzgesetzen ist:

x= \left(\dfrac 1{base}\right)^y = \left(base^{-1}\right)^y = \left(base\right)^{-y}.

Anwenden des Logarithmus zur Basis base auf diese Gleichung liefert:

\log_{base}(x) = \log_{base} (base^{-y}) = -y = - \log_{ \frac 1{base} } (x).

Daher ist f(x)=-g(x). Für den Graphen bedeutet dies, dass sich die beiden Funktionswerte jeweils an der gleichen Stelle x um das Vorzeichen unterscheiden.

Geometrisch zeigt sich dies durch einer Spiegelung an der x-Achse.

Nach der Spiegelung des roten Graphen an der x-Achse sehen wir, dass dieser mit dem blauen Graphen übereinstimmt.