Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis

de-CH

utf-8

math graphie polynomials

t-01-01

number

142

randRange(10,80) randRangeExclude(1,3,[2]) auxangle + 90 * k

Die beiden Winkel \color{blue}{\alpha} und \color{orange}{\beta} unten unterscheiden sich um ein Vielfaches von \dfrac{\pi}{2}.

Berechnen Sie \tan(\color{blue}{\alpha}) \cdot \tan(\color{orange}{\beta}):

graphInit({ range: [[-1.5, 1.5],[-1.5, 1.5]], scale: [80,80], tickStep: 1, gridStep: [1,1], labelStep: 1, gridOpacity: 0.1, axisOpacity: 0.8, tickOpacity: 0.6, labelOpacity: 0.8 }); circle([0,0],1); arc([0,0],0.35,0,angle,true, {stroke: "blue"}); label([-0.2,0.1], "\\color{blue}{\\alpha}"); line([0,0],polar(1, angle), {stroke: "blue"}); arc([0,0],0.5,0,auxangle,true, {stroke: "orange"}); label([0.65,0.2], "\\color{orange}{\\beta}"); line([0,0],polar(1, auxangle), {stroke: "orange"}); line([0,0],[1,0], {stroke: "black"});

-1

Wir sehen im Bogenmass und im Bild

\displaystyle \color{blue}{\alpha} = piFraction((k/2)*3.14,1) + \color{orange}{\beta}

und

\displaystyle \tan(\color{blue}{\alpha}) \cdot \tan(\color{orange}{\beta}) = \dfrac{ \sin(\color{blue}{\alpha})} {\cos(\color{blue}{\alpha})} \cdot \dfrac{\sin(\color{orange}{\beta})} {\cos(\color{orange}{\beta})} = \dfrac{\sin\left(piFraction((k/2)*3.14,1) + \color{orange}{\beta}\right)} {\cos\left(piFraction((k/2)*3.14,1) + \color{orange}{\beta}\right)} \cdot \dfrac{ \sin(\color{orange}{\beta})} {\cos(\color{orange}{\beta})}.

Mit den Werten aus der Tabelle (oder aus dem Bild)

\displaystyle \begin{aligned} \color{blue}{\omega} : & & \frac{1}2 \pi & & \frac{3} 2 \pi \\ \\ \sin(x + \color{blue}{\omega}) & & \cos(x) & & -\cos (x) \\ \cos(x + \color{blue}{\omega}) & & -\sin(x) & & \sin (x) \end{aligned}

vereinfacht sich der Quotient zu

\dfrac{\sin\left(piFraction((k/2)*3.14,1) + \color{orange}{\beta}\right)} {\cos\left(piFraction((k/2)*3.14,1) + \color{orange}{\beta}\right)} \cdot \dfrac{ \sin(\color{orange}{\beta})} {\cos(\color{orange}{\beta})} = \color{red}{-1}.