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utf-8
math graphie polynomials
Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis
t-01-04
number
40
45 randRange(1,10) randRange(1,2) * kaux/kaux randRange(0,1) auxangle + 90 * (k +n)

Die beiden Winkel \color{blue}{\alpha} und \color{orange}{\beta} unten unterscheiden sich um ein Vielfaches von \dfrac{\pi}{2}.

Wenn für den Winkel \color{orange}{\beta} unten

\dfrac{\sin(\color{orange}{\beta})} {\cos(\color{orange}{\beta})} = 1

gilt, dann ist der Quotient

\dfrac{ \sin(\color{blue}{\alpha})} {\sin(\color{orange}{\beta})} = ?

graphInit({ range: [[-1.5, 1.5],[-1.5, 1.5]], scale: [80,80], tickStep: 1, gridStep: [1,1], labelStep: 1, gridOpacity: 0.1, axisOpacity: 0.8, tickOpacity: 0.6, labelOpacity: 0.8 }); circle([0,0],1); arc([0,0],0.35,0,angle,true, {stroke: "blue"}); label([-0.2,0.1], "\\color{blue}{\\alpha}"); line([0,0],polar(1, angle), {stroke: "blue"}); arc([0,0],0.5,0,auxangle,true, {stroke: "orange"}); label([0.65,0.2], "\\color{orange}{\\beta}"); line([0,0],polar(1, auxangle), {stroke: "orange"}); line([0,0],[1,0], {stroke: "black"});
(-1)* pow(-1,k*(1+n))

Wir sehen im Bogenmass und im Bild

\displaystyle \color{blue}{\alpha} = piFraction(((k+n)/2)*3.14,1) + \color{orange}{\beta}.

Die Annahme \dfrac{\sin(\color{orange}{\beta})} {\cos(\color{orange}{\beta})} = 1 besagt, dass für den orangenen Punkt gilt

style({ fill: "orange", stroke: "orange" }, function() { circle( polar(1, auxangle), 0.05 ); });

x-Koordinate = y-Koordinate

Mit der Symmetrie folgt dann, dass die y-Koordinate der blauen Punktes

style({ fill: "blue", stroke: "blue" }, function() { circle( polar(1, angle), 0.05 ); });
sich allenfalls um das Vorzeichen unterscheiden.

Damit gilt hier

\dfrac{ \sin(\color{blue}{\alpha})} {\sin(\color{orange}{\beta})} = \color{red}{(-1)* pow(-1,k*(1+n))}.