de-CH
utf-8
math graphie polynomials
Periode bestimmen
t-02-03a
number
100
randRange(2,15) randRangeExclude(2,15,[Z]) N/Z

Welche (Minimal-)Periode hat die Funktion \color{blue}{g} mit \color{blue}{g(x) = \tan \left( fractionReduce(Z,N) \cdot (\pi \, x)\right)} ?

P

Wir suchen die kleinste Zahl \color{red}{P} >0 mit \color{blue}{g(x + \color{red}{P}) = g(x)}.

Es ist \color{blue}{g(x + \color{red}{P})} = \tan \left( fractionReduce(Z,N) \cdot (\pi \, (x +\color{red}{P}))\right) = \tan \left( fractionReduce(Z,N) \cdot \pi \, x + fractionReduce(Z,N)\pi \color{red}{P} \right).

Mit der Periode \color{orange}{\pi} der Tangens-Funktion versuchen wir nun \color{red}{P} so zu wählen, dass \color{orange}{ fractionReduce(Z,N)\pi \color{red}{P} = \pi} gilt.

Denn dann ist

\tan \left( fractionReduce(Z,N) \cdot \pi \, x + \color{orange}{ fractionReduce(Z,N)\pi \color{red}{P} }\right) = \tan \left( fractionReduce(Z,N) \cdot \pi \, x + \color{orange}{\pi}\right) = \tan \left( fractionReduce(Z,N) \cdot \pi \, x\right) = \color{blue}{g(x)}.

Um \color{red}{P} zu bestimmen, lösen wir die Gleichung \color{orange}{ fractionReduce(Z,N)\pi \color{red}{P} = \pi} nach \color{red}{P} und sehen

\displaystyle \color{red}{P} = fractionReduce(N,Z).