Welche (Minimal-)Periode hat die Funktion
\color{blue}{g} mit
\color{blue}{g(x) =
\cot \left(
fractionReduce(Z,N)
\cdot (\pi \, x)\right)}
?
Wir suchen die kleinste Zahl
\color{red}{P} >0
mit
\color{blue}{g(x + \color{red}{P}) = g(x)}.
Es ist \color{blue}{g(x + \color{red}{P})}
=
\cot \left(
fractionReduce(Z,N)
\cdot (\pi \, (x +\color{red}{P}))\right) =
\cot \left(
fractionReduce(Z,N)
\cdot \pi \, x +
fractionReduce(Z,N)\pi \color{red}{P}
\right).
Mit der Periode
\color{orange}{\pi}
der Kotangens-Funktion versuchen wir
nun \color{red}{P} so zu wählen, dass
\color{orange}{
fractionReduce(Z,N)\pi \color{red}{P}
= \pi}
gilt.
Denn dann ist
\cot \left(
fractionReduce(Z,N)
\cdot \pi \, x +
\color{orange}{
fractionReduce(Z,N)\pi \color{red}{P}
}\right) =
\cot \left(
fractionReduce(Z,N)
\cdot \pi \, x + \color{orange}{\pi}\right) =
\cot \left(
fractionReduce(Z,N)
\cdot \pi \, x\right) = \color{blue}{g(x)}.
Um \color{red}{P} zu bestimmen, lösen wir
die Gleichung \color{orange}{
fractionReduce(Z,N)\pi \color{red}{P}
= \pi}
nach \color{red}{P} und sehen
\displaystyle
\color{red}{P} =
fractionReduce(N,Z).