Mit der gesuchten Periode fractionReduce(Z,N) \cdot \pi gilt

\color{blue}{ g\left(x + fractionReduce(Z,N) \cdot \pi \right) = g(x)}.

Eingesetzt ist dies

\color{blue}{ g\left(x + fractionReduce(Z,N) \cdot \pi \right)} = \cot \left(\color{red}{b} \cdot \left(x + fractionReduce(Z,N) \cdot \pi\right)\right) = \cot \left(\color{red}{b} x + \left(\color{red}{b} \cdot fractionReduce(Z,N) \cdot \pi\right)\right).

Mit der Periode \color{orange}{\pi} der Kotangens-Funktion versuchen wir nun \color{red}{b} so zu wählen, dass \color{orange}{ \color{red}{b} \cdot fractionReduce(Z,N)\pi = \pi} gilt.

Denn dann ist

\cot \left(\color{red}{b} x + \left(\color{red}b \cdot \color{orange}{ fractionReduce(Z,N) \cdot \pi}\right)\right) = \cot \left(\color{red}{b} x + \color{orange}{\pi} \right) = \cot \left(\color{red}{b} x \right) =\color{blue}{g(x)}.

Um \color{red}{b} zu bestimmen, lösen wir die Gleichung \color{orange}{ \color{red}{b} \cdot fractionReduce(Z,N)\pi = \pi} nach \color{red}{b} und sehen

\displaystyle \color{red}{b} = fractionReduce(N,Z).