Wegen der Periodizität besitzt die Gleichung \sin(\alpha)=\frac{AFRAC[0]}{AFRAC[1]} unendlich viele Lösungen, im Intervall [0,2\pi] existieren jedoch nur zwei Lösungen.
Um diese Gleichung lösen zu können benötigt man zunächst die Umkehrfunktion \arcsin.
Es gilt: \alpha=\arcsin(\frac{AFRAC[0]}{AFRAC[1]}).
Der Taschenrechner liefert hier: \alpha=\arcsin(\frac{AFRAC[0]}{AFRAC[1]})\approxroundTo(4,asin(A)).
So ist schon die Lösung \color{blue}{\alpha_1} gefunden.
Da diese Lösung nicht im Intervall [0,2\pi] liegt, ist dies noch keine der gesuchten Lösungen. Da die Sinus-Funktion periodisch mit der Periode 2 \pi ist, findet sich eine passende Lösung, indem zu \alpha=\arcsin(\frac{AFRAC[0]}{AFRAC[1]}) 2 \pi addiert werden und wir erhalten \alpha_{a}\approx roundTo(4,X_2).
Um auf die zweite Lösung zu kommen, sieht man sich am besten den Einheitskreis nochmals genauer an. Es gilt:
\sin(\alpha)=\sin(180^{\circ}-\alpha) bzw.
\sin(\alpha)=\sin(\pi-\alpha).
graphInit({
range: [[-1.5, 1.5],[-1.5, 1.5]],
scale: [80,80],
tickStep: 1,
gridStep: [1,1],
labelStep: 1,
gridOpacity: 0.1,
axisOpacity: 0.8,
tickOpacity: 0.6,
labelOpacity: 0.8
});
circle([0,0],1);
arc([0,0],0.5,0,ANGLE,true, {stroke: "green"});
label([0.65,0.2], "\\color{green}{\\alpha_1}");
arc([0,0],0.3,0,ANGLE2,true, {stroke: "orange"});
label([-0.2,0.5], "\\color{orange}{\\alpha_2}");
line([0,0],[1,0]);
line([0,0],polar(1, ANGLE));
line(polar(1, ANGLE),[COSLINE,0], {stroke: "purple"});
label([1.4,0.3], "\\color{purple}{\\sin (\\alpha_1)}");
line([0,0],polar(1, ANGLE2));
line(polar(1, ANGLE2),[-COSLINE,0], {stroke: "purple"});
label([-1.4,0.3], "\\color{purple}{\\sin (\\alpha_2)}");
line(polar(1, ANGLE2),polar(1, ANGLE),{ strokeDasharray: "." });
Um auf die zweite Lösung zu kommen, sieht man sich am besten den Einheitskreis nochmals genauer an. Es gilt:
\sin(\alpha)=\sin(180^{\circ}-\alpha) bzw.
\sin(\alpha)=\sin(\pi-\alpha). Hier wird allerdings wieder
\alpha\approxroundTo(4,asin(A)) verwendet.
graphInit({
range: [[-1.5, 1.5],[-1.5, 1.5]],
scale: [80,80],
tickStep: 1,
gridStep: [1,1],
labelStep: 1,
gridOpacity: 0.1,
axisOpacity: 0.8,
tickOpacity: 0.6,
labelOpacity: 0.8
});
circle([0,0],1);
arc([0,0],0.5,0,ANGLE,true, {stroke: "green"});
label([0.65,0.2], "\\color{green}{\\alpha_1}");
arc([0,0],0.3,0,ANGLE2,true, {stroke: "orange"});
label([-0.2,0.375], "\\color{orange}{\\alpha_2}");
line([0,0],[1,0]);
line([0,0],polar(1, ANGLE));
line(polar(1, ANGLE),[COSLINE,0], {stroke: "purple"});
label([1.4,-0.3], "\\color{purple}{\\sin (\\alpha_1)}");
line([0,0],polar(1, ANGLE2));
line(polar(1, ANGLE2),[-COSLINE,0], {stroke: "purple"});
label([-1.4,-0.3], "\\color{purple}{\\sin (\\alpha_2)}");
line(polar(1, ANGLE2),polar(1, ANGLE),{ strokeDasharray: "." });
So erhält man \color{red}{\alpha_2}\approxroundTo(4,X_2).
So erhält man \alpha_b\approxroundTo(4,X_1).
Insgesamt erhält man so: \color{blue}{\alpha_1}\approxroundTo(4,X_1) und \color{red}{\alpha_2}\approxroundTo(4,X_2).
Da \color{blue}{\alpha_1} < \color{red}{\alpha_2} gelten soll, bedeutet das, dass \color{blue}{\alpha_1}=\alpha_b\approxroundTo(4,X_1) und \color{red}{\alpha_2}=\alpha_a\approxroundTo(4,X_2).