Die Seite a im Dreieck unten ist
BC Einheiten lang.
Die Seite b ist
AC Einheiten lang.
init({ range: [[-1.5, WIDTH+1], [-1, HEIGHT+1]], scale:[60,60] }); path([[0,0],[WIDTH,0],[0,HEIGHT],true]); arc([0,HEIGHT],0.7,270,270+acos(CB/AB)*180/PI,true, {stroke: "black"}); label([0.12,HEIGHT*0.87], "\\beta"); arc([0,0],0.4,0,90,true, {stroke: "black"}); label([0.2,0.2], "\\cdot"); label([WIDTH/2,0],"b", "below"); label([0,HEIGHT/2],"a","left"); label([WIDTH/2+0.1,HEIGHT/2+0.1],"c","right"); label([0,0],"C","left"); label([0,HEIGHT],"B","above"); label([WIDTH,0],"A","right");
Wie groß ist der Winkel \beta
im Gradmass?
Geben Sie \color{red}{b} mit
\beta = \color{red}{b}\,^{\circ}
an und runden
Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
Da alle drei Seitenlängen des Dreiecks gegeben sind,
können wir den Winkel \beta mit
einer der Winkelfunktionen \sin, \cos,
\tan oder \cot berechnen.
Für einen Winkel \sin (\varphi)
gilt:
\sin (\varphi)=
\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}
,
\cos (\varphi)=
\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}
,
\tan (\varphi)=
\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}
,
\cot (\varphi)=
\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}
.
Die Hypotenuse lässt sich mit Pythagoras bestimmen:
c = \sqrt{a^2 + b^2} = AB.
Einsetzen der richtigen Seitenlängen liefert daher:
\sin (\beta)=\dfrac{b}{c}
,
\cos (\beta)=\dfrac{a}{c}
,
\tan (\beta)=\dfrac{b}{a}
,
\cot (\beta)=
\dfrac{a}{b}.
Mit den gegeben Seitenlängen folgt:
\sin (\beta)
=\dfrac{AC}{AB}
,
\cos (\beta)
=\dfrac{BC}{AB}
,
\tan(\beta)
=\dfrac{AC}{BC}
,
\cot (\beta)
=\dfrac{BC}{AC}
.
Die Umkehrfunktion \arcsin, \arccos,
\arctan oder \text{arccot}
liefert den gewünschten Winkel.
Beispiel: Es ist
\beta = \arcsin \left(\dfrac{b}{c}\right)
=\arcsin
\left(\dfrac{AC}{AB}\right)
\approx \color{red}{ANGLE}\,^{\circ}
.