Die Seite a im Dreieck unten ist
BC Einheiten lang.
Die Seite b ist
AC Einheiten lang.
init({ range: [[-1.5, WIDTH+1], [-1, HEIGHT+1]], scale:[60,60] }); path([[0,0],[WIDTH,0],[0,HEIGHT],true]); arc([WIDTH,0],0.7,180-acos(AC/AB)*180/PI,180,true, {stroke: "black"}); label([WIDTH*0.89,0.15], "\\alpha"); arc([0,0],0.4,0,90,true, {stroke: "black"}); label([0.2,0.2], "\\cdot"); label([WIDTH/2,0],"b", "below"); label([0,HEIGHT/2],"a","left"); label([WIDTH/2+0.1,HEIGHT/2+0.1],"c","right"); label([0,0],"C","left"); label([0,HEIGHT],"B","above"); label([WIDTH,0],"A","right");
Wie groß ist der Winkel \alpha
im Gradmass?
Geben Sie \color{red}{a} mit
\alpha = \color{red}{a}\,^{\circ}
an und runden
Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
Da alle drei Seitenlängen des Dreiecks gegeben sind,
können wir den Winkel \alpha mit
einer der Winkelfunktionen \sin, \cos,
\tan oder \cot berechnen.
Für einen Winkel \sin (\varphi)
gilt:
\sin (\varphi)=
\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}
,
\cos (\varphi)=
\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}
,
\tan (\varphi)=
\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}
,
\cot (\varphi)=
\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}
.
Einsetzen der richtigen Seitenlängen liefert daher:
\sin (\alpha)=\dfrac{a}{c}
,
\cos (\alpha)=\dfrac{b}{c}
,
\tan (\alpha)=\dfrac{a}{b}
,
\cot (\alpha)=
\dfrac{b}{a}.
Die Hypotenuse lässt sich mit Pythagoras bestimmen:
c = \sqrt{a^2 + b^2} = AB.
Mit den gegeben Seitenlängen folgt:
\sin (\alpha)
=\dfrac{BC}{AB}
,
\cos (\alpha)
=\dfrac{AC}{AB}
,
\tan(\alpha)
=\dfrac{BC}{AC}
,
\cot (\alpha)
=\dfrac{AC}{BC}
.
Die Umkehrfunktion \arcsin, \arccos,
\arctan oder \text{arccot}
liefert den gewünschten Winkel.
Beispiel: Es ist
\alpha = \arcsin \left(\dfrac{a}{c}\right)
=\arcsin
\left(\dfrac{BC}{AB}\right)
\approx \color{red}{90-ANGLE}\,^{\circ}
.