In einem rechtwinkligen Dreieck werde eine Kathete um
K1\% verlängert und die andere Kathete um
K2\% verkürzt.
Dabei verringert sich der Flächeninhalt des Dreiecks.
Um wieviel Prozent geschieht dies?
Der Flächeninhalt des Dreiecks mit Katheten
K_1 und K_2 ist
\color{blue}{F = \dfrac 12 K_1 \cdot K_2}.
Die neuen Katheten haben die Länge
K_1' = K_1 + \dfrac{K1}{100} K_1 und
K_2' = K_2 - \dfrac{K2}{100} K_2
und das neue Dreieck den Flächeninhalt
F' = \dfrac 12 K_1' \cdot K_2' =
\dfrac 12 \left(K_1 +\dfrac{K1}{100} K_1\right)
\cdot
\left(K_2 -\dfrac{K2}{100} K_2\right) =
\color{blue}{\dfrac 12 K_1 \cdot K_2}
\left(1 +\dfrac{K1}{100} \right)
\cdot
\left(1 -\dfrac{K2}{100}\right).
Weiteres Ausmultiplizieren und Sortieren liefern
F' = \color{blue}{F} - \color{blue}{F}
\left(\dfrac{K1}{100}
\cdot \dfrac{K2}{100} +
\dfrac{K2}{100} -
\dfrac{K1}{100}\right).
Die (absolute) Verringerung ist
\color{blue}{F} - F' = \color{blue}{F}
\left(\dfrac{K1}{100}
\cdot \dfrac{K2}{100} +
\dfrac{K2}{100} -
\dfrac{K1}{100}\right).
Und damit die prozentuale Verringerung
\dfrac{\color{blue}{F} - F'}{\color{blue}F} =
\dfrac{K1}{100}
\cdot \dfrac{K2}{100} +
\dfrac{K2}{100} -
\dfrac{K1}{100} =
Q.
Das entspricht dann einer Verringerung um
K2-K1 + K1 * K2/100\%.
Mögliche Abkürzung
Die Gleichung
F' =
\color{blue}{F}
\left(1 +\dfrac{K1}{100} \right)
\cdot
\left(1 -\dfrac{K2}{100}\right)
=roundTo(4,1 + (K1 - K2)/100 - K1 * K2 /10000)
\cdot \color{blue}{F}
sagt, dass die neue Fläche noch
100 + K1 - K2 - K1 * K2 /100 \% der Ausgangsfläche
beträgt und damit die Verringerung
- K1 + K2 + K1 * K2 /100 \%.