Die beiden Geraden
g: \vec{r}=\left(
\begin{matrix}GX \\ GY \\ GZ
\end{matrix}\right)+
s \cdot \left(
\begin{matrix}GVX \\ GVY \\ GVZ
\end{matrix}\right) und
h: \vec{r} =\left(\begin{matrix}HX \\
HY \\ HZ \end{matrix}\right)+ t\cdot
\left(\begin{matrix}HVX \\ HVY \\ HVZ
\end{matrix}\right) schneiden sich einem
Punkt S = (\color{blue}x , \color{red}y ,
\color{teal}z).
Bestimmen Sie \color{blue}x, \color{red}y und
\color{teal}z.
\color{blue}x
=
SX
\color{red}y
=
SY
\color{teal}z
=
SZ
Als Schnittpunkt liegt S auf beiden
Geraden.
Es gibt also ein \color{purple}{s} für
die Gerade
g und
ein \color{orange}{t} für
die Gerade
h mit
\left(
\begin{matrix}GX \\ GY \\ GZ
\end{matrix}\right)+
\color{purple}{s} \cdot
\left(
\begin{matrix}GVX \\ GVY \\ GVZ
\end{matrix}\right) =
\left(
\begin{matrix} \color{blue}x \\ \color{red}y \\ \color{teal}z
\end{matrix}\right) =
\left(
\begin{matrix}HX \\ HY \\ HZ
\end{matrix}\right)+
\color{orange}{t}\cdot
\left(\begin{matrix}HVX \\ HVY \\ HVZ
\end{matrix}\right).
Die Zeilen der beiden Koordinaten liefern
ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den
beiden Unbekannten
\color{purple}{s} und
\color{orange}{t}:
GX+GVX\cdot \color{purple}{s} =
HX+HVX\cdot
\color{orange}{t}
GY+GVY\cdot
\color{purple}{s} =
HY+HVY\cdot
\color{orange}{t}
GZ+GVZ\cdot
\color{purple}{s} =
HZ+HVZ\cdot
\color{orange}{t}
Da wir in der Aufgabe annehmen, dass sich die beiden Geraden schneiden, hat diese Gleichungssystem mit drei Gleichungen aber nur zwei Unbekannten sicher eine eindeutige Lösung
S=(\color{blue}x , \color{red}y
, \color{teal}z).
CAVE. Im Allgemeinen wissen wir das nicht ! Es könnte sein, dass die beiden Geraden parallel oder windschief sind. Dann hätte ein solches Gleichungssystem keine Lösung.
\color{purple}{s} und
\color{orange}{t} zu bestimmen, wähle nun zwei
Gleichungen aus und berechne damit \color{purple}{s}
und \color{orange}{t}.
Wegen der Feststellung oben, werden diese beiden Zahlen
\color{purple}{s} und
\color{orange}{t}
dann auch die verbleibende Gleichung erfüllen
Lösen der ersten beiden Gleichungen liefert
\color{purple}{s=S} und
\color{orange}{t=T}.
Die Probe mit Einsetzen in die dritte Gleichung zeigt dann
GZ+\color{purple}{negParens(S)} \cdot
negParens(GVZ) =
HZ+\color{orange}{negParens(T)} \cdot
negParens(HVZ)
\Rightarrow GZ+S*GVZ=HZ+T*HVZ.
Einsetzen eines der berechneten Parameter
\color{purple}{s=S} oder
\color{orange}{t=T} in die
entsprechende
gegebenen Geradengleichungen liefert
S=(\color{blue}{SX} ,
\color{red}{SY} ,
\color{teal}{SZ}).