de-CH
utf-8
math graphie polynomials
Punkt in Ebene (Parameterform) legen
t-03-02a
multiple
300000000000
randRange(-10,10) randRange(-10,10) randRange(-10,10) randRangeNonZero(-3,3) randRangeNonZero(-3,3) randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) randRangeNonZero(-5,5) QX+S*VX+T*WX QY+S*VY+T*WY QZ+S*VZ+T*WZ

Der Punkt P=(\color{red}{P_X},PY,PZ) liege in der Ebene E : \vec{r}=\left( \begin{matrix} QX \\ QY \\ QZ \end{matrix} \right) + s \cdot \left( \begin{matrix} VX \\ VY \\ VZ \end{matrix} \right)+ t \cdot \left( \begin{matrix} WX \\ WY \\ WZ \end{matrix} \right).

Wie lautet dann die fehlende Koordinate \color{red}{P_X}?

PX \color{red}{P_X} = PX

Wenn ein Punkt P in einer Ebene E liegt, muss dieser die Ebenengleichung erfüllen.

Setzen wir die Koordinaten des Punktes P ein, so ergibt sich

\left(\begin{matrix} \color{red}{P_X} \\ PY \\ PZ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}QX \\ QY \\ QZ\end{matrix}\right)+ \color{purple}s \cdot \left( \begin{matrix}VX \\ VY \\ VZ\end{matrix}\right) + \color{orange}t \cdot \left( \begin{matrix}WX \\ WY \\ WZ\end{matrix}\right)

Die drei Zeilen liefern ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den drei Unbekannten \color{purple}s, \color{orange}t und \color{red}{P_X}.

\begin{aligned}\text{I.} &: & \color{red}{P_X}& = QX+VX\cdot \color{purple}s + WX \cdot \color{orange}t \\ \text{II.}& : & PY & = QY+VY\cdot \color{purple}s + WY \cdot \color{orange}t \\ \text{III.}& : & PZ& = QZ+VZ\cdot \color{purple}s + WZ \cdot \color{orange}t\end{aligned}

Mit den Gleichungen \text{II.} und \text{III.} berechnen sich \color{purple}s und \color{orange}t.

Die beiden berechneten Parameter in die Gleichung \text{I.} eingesetzt liefern dann \color{red}{P_X}.

Hier erhalten wir zunächst \color{purple}{s=S} und \color{orange}{t=T} und dann \color{red}{P_X}:

\color{red}{P_X}= QX+negParens(VX)\cdot \color{purple}{negParens(S)} + negParens(WX) \cdot \color{orange}{negParens(T)} = \color{red}{PX}.