Der Punkt
P=(PX,PY,\color{red}{P_Z}) liege
in der Ebene E : \vec{r}=\left(
\begin{matrix} QX \\ QY \\ QZ
\end{matrix} \right) + s \cdot \left(
\begin{matrix} VX \\ VY \\ VZ
\end{matrix} \right)+ t \cdot
\left(
\begin{matrix} WX \\ WY \\ WZ
\end{matrix} \right).
Wie lautet dann die fehlende Koordinate
\color{red}{P_Z}?
\color{red}{P_Z}
=
PZ
Wenn ein Punkt P in einer Ebene E liegt,
muss dieser die Ebenengleichung erfüllen.
Setzen wir die Koordinaten des Punktes P ein,
so ergibt sich
\left(\begin{matrix} PX \\ PY \\
\color{red}{P_Z}
\end{matrix} \right)=\left(
\begin{matrix}QX \\ QY \\
QZ\end{matrix}\right)+ \color{purple}s \cdot
\left(
\begin{matrix}VX \\ VY \\
VZ\end{matrix}\right) + \color{orange}t \cdot
\left(
\begin{matrix}WX \\ WY \\
WZ\end{matrix}\right).
Die drei Zeilen liefern ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen
und den drei Unbekannten \color{purple}s,
\color{orange}t und
\color{red}{P_Z}.
\begin{aligned}\text{I.} &: & PX& =
QX+VX\cdot \color{purple}s +
WX \cdot \color{orange}t \\
\text{II.}& : & PY & =
QY+VY\cdot \color{purple}s +
WY \cdot \color{orange}t \\
\text{III.}& : & \color{red}{P_Z}& =
QZ+VZ\cdot \color{purple}s +
WZ \cdot \color{orange}t\end{aligned}
Mit den Gleichungen \text{I.} und \text{II.}
berechnen sich \color{purple}s und
\color{orange}t.
Die beiden berechneten Parameter in die Gleichung
\text{III.} eingesetzt liefern dann
\color{red}{P_Z}.
Hier erhalten wir zunächst
\color{purple}{s=S} und
\color{orange}{t=T} und dann
\color{red}{P_Z}:
\color{red}{P_Z} =
QZ+negParens(VZ)\cdot
\color{purple}{negParens(S)} + negParens(WZ) \cdot
\color{orange}{negParens(T)} =
\color{red}{PZ}.