Gegeben sei eine Ebene E mit der Koordinatengleichung
E:
A\cdot x + B\cdot y +
C \cdot z = D.
Die Gerade
g: \vec{r}=\left(
\begin{matrix}QX \\ QY \\ QZ
\end{matrix}\right)+
s \cdot \left(
\begin{matrix}GVX \\ GVY \\ GVZ
\end{matrix}\right)
schneide E
in einem Punkt S = (\color{blue}x , \color{red}y , \color{teal}z).
Bestimmen Sie die Koordinaten \color{blue}x, \color{red}y und
\color{teal}z.
\color{blue}x
=
PX
\color{red}y
=
PY
\color{teal}z
=
PZ
Wenn die Gerade g die Ebene E in einem Punkt schneidet,
muss diese in diesem Punkt die Ebenengleichung erfüllen.
Setzen wir die Gleichung der Gerade komponentenweise in die Gleichung der Ebene E ein,
so ergibt sich
A\cdot (QX+\color{magenta}{s}\cdot negParens(GVX))+negParens(B)\cdot
(QY+\color{magenta}{s}\cdot negParens(GVY)) + negParens(C) \cdot
(QZ+\color{magenta}{s}\cdot negParens(GVZ))=D.
Diese Gleichung lösen wir nach \color{magenta}{s} auf ...
... und erhalten
\color{magenta}{s=S}.
Dieser Wert \color{magenta}{s=S} in der Gleichung der Geraden liefert den
Schnittpunkt S mit der Ebene:
g: \left(
\begin{matrix} \color{blue}x \\ \color{red}y \\ \color{teal}z
\end{matrix}\right)=\left(
\begin{matrix}QX \\ QY \\ QZ
\end{matrix}\right)+
\color{magenta}{negParens(S)} \cdot \left(
\begin{matrix}GVX \\ GVY \\ GVZ
\end{matrix}\right).
So ergibt sich:
\left(
\begin{matrix} \color{blue}x \\ \color{red}y \\ \color{teal}z
\end{matrix}\right)=\left(
\begin{matrix}\color{blue}{PX} \\ \color{red}{PY} \\ \color{teal}{PZ}
\end{matrix}\right).