Gegeben seien zwei Ebenen mit den Koordinatengleichungen
E_1:
A1\cdot x + B1\cdot y +
C1 \cdot z = D1
und E_2:
A2\cdot x + B2\cdot y +
C2 \cdot z = D2
Wie liegen sie zueinander?
Wenn die Ebenen E_1 und E_2 parallel oder ident sind,
so sind der Normalvektor \vec{n_1} und \vec{n_2} der jeweiligen Ebenen kolinear.
Sind die Normalvektoren nicht kolinear, dann schneiden sich die Ebenen.
Wir prüfen, ob \left( \begin{matrix} A1 \\ B1 \\C1 \end{matrix} \right)
ein Vielfaches des Vektors \left( \begin{matrix} A2 \\ B2 \\ C2 \end{matrix} \right) ist
D.h. gibt es ein eindeutiges c mit c \cdot \left( \begin{matrix} A1 \\ B1 \\C1 \end{matrix} \right)=
\left( \begin{matrix} A2 \\ B2 \\ C2 \end{matrix} \right)?
Zeilenweises Ausrechnen liefert, dass c_X=c_Y=c_Z=K ist.
Die beiden Normalvektoren sind daher kolinear und die Ebenen somit parallel oder ident.
Nun muss noch überprüft werden, ob die Ebenen auch ident sind.
Dazu wird ein Punkt in einer Ebene bestimmt, z.B. in der Ebene E_1 und überprüft,
ob dieser Punkt auch in Ebene E_2 liegt.
Dazu suchen wir einen Punkt P, der die Gleichung der Ebene E_1 erfüllt, z.B. P=(PX,PY,PZ).
Diesen Punkt setzen wir dann in die Ebene E_2 ein.
Da die Gleichung der Ebene E_2 nicht erfüllt ist, sind die beiden Ebenen parallel.