Die beiden Winkel
{\color{blue}\alpha} und
{\color{orange}\beta} unten
unterscheiden sich um ein Vielfaches von
\dfrac{\pi}{2}.
Berechnen Sie
\tan({\color{blue}\alpha}) \cdot
\tan({\color{orange}\beta}):
Wir sehen im Bogenmass und im Bild
\displaystyle {\color{blue}\alpha} =
piFraction((k/2)*3.14,1)
+ {\color{orange}\beta}
und
\displaystyle
\tan({\color{blue}\alpha}) \cdot
\tan({\color{orange}\beta}) =
\dfrac{
\sin({\color{blue}\alpha})}
{\cos({\color{blue}\alpha})}
\cdot
\dfrac{\sin({\color{orange}\beta})}
{\cos({\color{orange}\beta})} =
\dfrac{\sin\left(piFraction((k/2)*3.14,1)
+ {\color{orange}\beta}\right)}
{\cos\left(piFraction((k/2)*3.14,1)
+ {\color{orange}\beta}\right)} \cdot
\dfrac{
\sin({\color{orange}\beta})}
{\cos({\color{orange}\beta})}.
Mit den Werten aus der Tabelle (oder aus dem Bild)
\displaystyle
\begin{aligned} {\color{blue}\omega} : & &
\frac{1}2 \pi & & \frac{3} 2 \pi \\ \\
\sin(x + {\color{blue}\omega}) & & \cos(x) & &
-\cos (x) \\
\cos(x + {\color{blue}\omega}) & & -\sin(x) & &
\sin (x)
\end{aligned}
vereinfacht sich der Quotient zu
\dfrac{\sin\left(piFraction((k/2)*3.14,1)
+ {\color{orange}\beta}\right)}
{\cos\left(piFraction((k/2)*3.14,1)
+ {\color{orange}\beta}\right)} \cdot
\dfrac{
\sin({\color{orange}\beta})}
{\cos({\color{orange}\beta})} =
\color{red}{-1}.