Wir zerlegen den Bruch in fractionReduce(3+2*N,12)\pi = fraction(1,4)\pi+ fractionReduce(N,6)\pi

und können das Additionstheorem anwenden mit \sin(\alpha + \beta)=\sin (\alpha) \cdot \cos (\beta) + \sin (\beta) \cdot \cos (\alpha).

Wir schauen in die Tabelle mit den bekannten Werten der Sinus- und Kosinusfunktion

\begin{array}{c|c c c c c} x & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} \\ \hline \sin(x) & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \cos (x) & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}

und setzen Sie diese ein:

Damit gilt {\color{orange}w} = \sin \left(fractionReduce(3+2*N,12)\pi\right) = \sin \left(fraction(1,4)\pi+ fractionReduce(N,6)\pi\right) = \sin \left(fraction(1,4)\pi\right) \cdot \cos \left(fractionReduce(N,6)\pi\right) + \cos \left(fraction(1,4)\pi\right) \cdot \sin \left(fractionReduce(N,6)\pi\right).

Auswerten gibt dann {\color{orange}w} = \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{-2*N+5}}{2}+ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2*N-1}}{2}\right) und vereinfacht {\color{orange}w} =\dfrac{\sqrt{2*(-2*N+5)} +\sqrt{2*(2*N-1)}}{4} .